загрузка...
загрузка...
На головну

Складіть структурні формули і приведіть назви ізомерних фенолів і ароматичних спиртів складу С8Н10О

1.59

Правило Лопіталя.

Теорема.

Нехай функції f (x) і g (x) визначені і мають похідні в деякому околі точки x0, За винятком може бути самої точки x0, І,. Тоді якщо існує межа відносини похідних функцій, то існує межа відносини самих функцій, причому вони рівні між собою, т. Е..

Доведення:

Довизначивши f (x) і g (x) в точці x0, поклавши

f (x0) = G (x0) = 0.

В околиці точки x0, Т. Е. На (x0, Х) для функцій f (x) і g (x) виконуються умови теореми Коші. Отже, існує точка сI (x0, Х) така, що

, Т. К. F (x0) = G (x0) = 0.

Перейдемо до границі при x x0  з x0:

.

Ч. т. Д.

зауваження. На практиці при розкритті невизначеності типу можна користуватися правилом Лопіталя і в випадках, коли x® ± ?, x® ?.

Для розкриття невизначеностей типу існує аналог правила Лопіталя, т. Е. Справедливо наступне твердження:

Теорема.

Нехай функції f (x) і g (x) неперервні і мають похідні в деякому околі точки x0, За винятком самої точки x0, Причому. Нехай,. Тоді якщо існує межа відносини похідних функцій, то існує межа відносини самих функцій, причому вони рівні між собою, т. Е..

Надалі це твердження будемо також називати правилом Лопіталя.

зауваження 1. Правилом Лопиталя можна користуватися при розкритті невизначеностей виду (? - ?), (0 ? ?), (1?), (?0), (00), Зводячи їх до невизначеностей типу,.

зауваження 2. Якщо після застосування правила Лопіталя знову отримуємо невизначеність виду або, то його можна застосувати повторно.

приклад: Обчислити межі за правилом Лопіталя.

1. Щоб застосовувати правило Лопіталя при невизначеності виду або, потрібно продифференцировать окремо чисельник і знаменник дробу, і обчислити отриманий межа.

.

.

Висновок: показова функція (y = an) Завжди зростає швидше, ніж статечна (у = xn).

.

Висновок: логарифмічна функція (y = logax) зростає повільніше, ніж статечна.

2. Невизначеність виду (0 ? ?) потрібно перетворити в невизначеність виду або, опустивши один з множників в знаменник в негативній ступеня, і потім застосовувати правило Лопіталя.

3. При показовою невизначеності: (00), (1?), (?0); перш ніж застосовувати правило Лопіталя, потрібно прологаріфміровать цю межу по підставі e.

.

= = = (0 ? ?) = = = =

= = 0;

? A = e0= 1.

Питання для самоконтролю.

1. Сформулювати теореми Ферма, Ролля, Лагранжа і Коші.

2 Привести геометричну інтерпретацію теорем Ферма, Ролля, Лагранжа.

2. Сформулювати для різних випадків правило Лопіталя.

Завдання для самоконтролю.

1. Обчислити межа, використовуючи правило Лопіталя:

а); б); в).

2. Розкласти за формулою Тейлора функцію в точці для випадку n = 4.

Рішення типових задач.

Завдання. Обчислити межа, використовуючи правило Лопіталя:

а)

.

б).

3. Назвіть такі сполуки:

4. Розмістіть наведені речовини в порядку зменшення кислотних властивостей: о-крезол, п-бромфенол, 2,4,6-тринітрофенол, фенол. Дайте пояснення.

5. Складіть рівняння реакцій у відповідності зі схемами перетворень, назвіть вихідні речовини і продукти:

б)

в) пропанол-1 > 1-бромпропан > н-гексан > бензол > ізопропілбензол > фенол

г) складіть рівняння реакцій одержання з бензолу о-крезолу

д) складіть рівняння реакцій одержання з бензолу метілфенілового ефіру (метоксібензола)

е) Напишіть рівняння реакцій лужного гідролізу наступних сполук: а) хлорбензол; б) о-нітрохлорбензоли; в) 2,4,6-трінітрохлорбензол

6. Яка маса фенолята натрію може бути отримана при взаємодії фенолу масою 4,7 г з розчином гідроксиду натрію об'ємом 4,97 мл щільністю 1,38 г / мл? Масова частка гідроксиду натрію в розчині становить 35%.

7. При дії надлишку натрію на суміш етанолу і фенолу виділилося 6,72 л водню (н. У.). Для повної нейтралізації цієї ж суміші потрібен розчин об'ємом 25 мл (р = 1,4 г / мл) з масовою часткою гідроксиду калію 40%. Визначте масові частки речовин у вихідній суміші.

література:

1. Н. А. Тюкавкина Органічна хімія, 1989 С. 154-163

2. Н. А. Тюкавкина Органічна хімія, 2002 г. С. 178-190

3. ОРГАНИЧЕСКАЯ ХІМІЯ. Основний курс. Кн.1. Під ред. Н. А. Тюкавкина С. 363-385

Теорема Ролля. «-- попередня | наступна --» Робочі місця, їх види та вимоги до організації
загрузка...
© om.net.ua