загрузка...
загрузка...
На головну

Локальна формула Муавра-Лапласа

Формула Пуассона

НАБЛИЖЕНІ ФОРМУЛИ В схемою Бернуллі

поліноміальний розподіл

Формула Бернуллі

СХЕМА ВИПРОБУВАНЬ Бернуллі

нехай здійснюються п незалежних випробувань, в кожному з яких може відбутися деяка подія А (За традицією такий результат досвіду називають успіхом) з однієї і тієї ж ймовірністю Р (А) = р або статися протилежне подія (такий результат називають невдачею) з ймовірністю P() = q = 1 - p (Такого роду схема випробувань називається схемою Бернуллі). Тоді ймовірність того, що подія А настане рівно m раз, знаходиться по формулою Бернуллі

, m = 0, 1, 2, ..., п.

Звідси, зокрема, випливає, що ймовірність того, що в п випробуваннях, які відповідають схемі Бернуллі, подія А настане:

а) менш т раз - дорівнює Pn(0) + Pn(1) + ... + Pn(m - 1);

б) більше т раз - дорівнює Pn(m + 1) + Pn(m + 2) + ... + Pn(n);

в) хоча б одного разу- дорівнює Pn(m?1) = 1 - Pn(0) = 1 - qn;

г) Проте m1 раз і не більше m2 раз - дорівнює

.

число m0 (0 ? m0 ? п) називається найімовірніше число наступів події А (або найімовірнішим числом успіхів) в схемі Бернуллі, якщо Pn(m0) ? Pn(m) для всіх m = 0, 1, 2, ..., П. Якщо ймовірність р и q відмінні від нуля; то число m0 визначаться з подвійного нерівності

np - q ? m0 ? np + p

Якщо в кожному з п незалежних випробувань ймовірність настання події А дорівнює pi (числа pi , Взагалі кажучи, різні), то ймовірність Pn(m) Того, що в цій серії випробувань подія А настане рівно т раз, дорівнює коефіцієнту при m-го ступеня (т. е. при zm) многочлена

Функція при цьому називається виробляє функцією.

Нехай тепер кожне з п випробувань може мати тільки k результатів подій A1, A2, ..., Ak з відповідними можливостями p1, p2, ..., pk (Ясно, що. Тоді ймовірність того, що в цих дослідах подія A1 з'явиться m1 раз, подія A2 - m2 раз, ..., подія Ak - mk раз (m1 + m2 + ... +mk = п) дорівнює

.

Ця формула задає поліноміальний розподіл ймовірностей (назва пояснюється тим, що вираз для є загальним членом полінома (p1 + p2 + ... + Pk)п). Зауважимо, що схема Бернуллі є окремим випадком полиномиального розподілу при k = 2,
p2 = 1 -p1= q1.

Безпосереднє застосування формули Бернуллі при великому числі випробувань пов'язано з громіздкими обчисленнями, Тому при великих п замість неї, як правило, використовують наближені формули Пуассона і Муавра-Лапласа.

Скрізь далі мова йде про серії п незалежних випробувань за схемою Бернуллі, Pn(m) Означає ймовірність рівно т успіхів в цій серії.

Якщо число випробувань п досить велике, а ймовірність р досить мала, причому їхній колективний витвір а = ін немало і не велика (зазвичай досить умов р < 0,1; npq < 10), то ймовірність Pn(m) Можна наближено визначити за формулою Пуассона

.

теорема 7.1Якщо число випробувань п досить велике, а ймовірності р и q не надто близькі до нуля (зазвичай досить умов п > 100, npq> 20), то ймовірність Pn(m) Можна наближено знайти по локальної формулою Муавра-Лапласа

,

де - функція Гаусса.

Таблиця значень функції наводиться в додатках.

ФОРМУЛА ПОВНОЇ ІМОВІРНОСТІ. ФОРМУЛА Бейеса «-- попередня | наступна --» Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини. Закони біноміальний і Пуассона
загрузка...
© om.net.ua