загрузка...
загрузка...
На головну

ФОРМУЛА ПОВНОЇ ІМОВІРНОСТІ. ФОРМУЛА Бейеса

Імовірність суми спільних подій

незалежні події

Подія А називається незалежною від події В, якщо ймовірність події А не залежить від того, здійснилося чи ні подія В.

В цьому випадку умовна ймовірність події А за умови В дорівнює безумовній ймовірності події А, т. е. виконується рівність

Р (А | В) = Р (А).

якщо подія А не залежить від події В, то і подія В не залежить від А. Обидві події при цьому називаються незалежними.

Таким чином, дві події називаються незалежними, якщо поява одного з них не змінює ймовірності появи іншого.

Для незалежних подій правило множення ймовірностей набирає вигляду:

Р (АВ) = Р (А) • Р (В).

Ця формула часто використовується в якості визначення незалежних подій.

події A1, A2, ..., An називаються незалежними (або незалежними в сукупності), якщо ймовірність кожного з них не залежить від здійснення або нездійснення будь-якого числа інших подій.

В разі п незалежних подій маємо

P(A1 • A2 • A3 • ... • An) = P (A1) • P(A2) • P(A3) • ... • P(An).

події A1, A2, ..., An називаються попарно-незалежними, якщо будь-які дві події Аi и Аj (i ? j) З цього набору незалежні.

незалежні події A1, A2, ..., An є попарно-незалежними. Зворотне, взагалі кажучи, невірно.

теорема 4.2Імовірність суми двох спільних подій є сума їх ймовірностей мінус ймовірність їх твори, т. е.

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) - Р (АВ).

Для трьох подій А, В и С маємо:

Р (А + В + С) = Р (А) + Р (В) + Р (С) - Р (АВ) - Р (АС) - Р (ВС) + Р (АВС).

У випадку трьох і більшого числа подій для знаходження ймовірності сумиS цих подій простіше знайти ймовірність протилежної події, а потім скористатися рівністю P (S) = 1 - P()

теорема 5.1нехай подія А може відбутися тільки з однією з подій H1, H2, ..., Hn, Що утворюють повну групу попарно несумісних подій, т. Е. І

Тоді ймовірність події А обчислюється за формулою повної ймовірності

(5.1)

При цьому події H1, H2, ..., Hn зазвичай називають гіпотезами, ачісла P(Hi) - можливостями гіпотез.

теорема 5.2Якщо в результаті досвіду здійснилося подія А, то колишні, додосвідні (або апріорні) ймовірності гіпотез P(H1), ..., P(Hn) Повинні бути замінені на нові, Післядосвідна (або апостеріорні) ймовірності P(H1|A), ..., P(Hn|A), Які обчислюються за формулою Бейеса:

(i = 1, 2, ..., п), Де ймовірність Р (А) обчислюється за формулою (5.1).

приклад 1.45% Телевізорів, наявних в магазині, виготовлені на 1-му заводі, 15% - на 2-му, решта - на 3-му заводі. Ймовірності того, що телевізори, виготовлені на цих заводах, не зажадають ремонту протягом гарантійного терміну, рівні 0,96; 0,84; 0,90 відповідно. Знайти ймовірність того, що куплений навмання телевізор витримає гарантійний термін роботи.

-Рішення. Нехай подія: А = {Телевізор витримає гарантійний термін роботи}, а гіпотези H1 = {Телевізор виготовлений на 1-му заводі}, H2 = {Телевізор виготовлений на 2-му заводі}, H3 = {Телевізор виготовлений на 3-му заводі}.

події H1, H2, H3утворюють повну групу несумісних подій, при цьому; ; . (Для контролю можна знайти суму ймовірностей гіпотез; вона повинна дорівнювати одиниці)

За умовою , . Звідси по формулі повної ймовірності маємо

-

 Мал. схема доріг
приклад 2 На малюнку зображена схема доріг. Туристи виходять з пункту А, вибираючи навмання на кожній розвилці доріг один з можливих шляхів. Яка ймовірність того, що вони потраплять в пункт B?

 ? • ? + ? • ? + ? • 1 + ? •1/3 = 25/48

Приклад 3. Технічний пристрій вийде з ладу, якщо відмовлять не менше двох з трьох незалежно працюючих елементів. Ймовірності відмов 1-го, 2-го, 3-го елементів відповідно рівні 0,2; 0,4; 0,3. Відомо, що пристрій відмовило. Знайти ймовірність того, що відмовили 1-й і 2-й елементи.

-Рішення. нехай подія A = {Пристрій відмовило}. До досвіду, т. Е. До відмови пристрою, можна зробити наступні припущення-гіпотези-.

H123 = {Відмовлять всі три елементи};

H12 = {Відмовлять два елементи: 1-й і 2-й, 3-й - не відмовить};

H13 = {Відмовлять два елементи: 1-й і 3-й, 2-й - не відмовить};

H23 = {Відмовлять два елементи: 2-й і 3-й, 1-й - не відмовить};

H1 = {Відмовить один елемент: 1-й, не відмовлять 2-й, 3-й};

H2 = {Відмовить один елемент: 2-й, не відмовлять 1-й, 3-й};

H3 = {Відмовить один елемент: 3-й, не відмовлять 1-й, 2-й};

H0 = {Всі елементи, працюватимуть}.

Користуючись правилом множення ймовірностей для незалежних подій, знайдемо ймовірності цих гіпотез:

P(H123) = 0,2 • 0,4 • 0,3 = 0,024;

P(H12) = 0,2 • 0,4 • 0,7 = 0,056;

P(H13) = 0,2 • 0,6 • 0,3 = 0,036;

P(H23) = 0,8 • 0,4 • 0,3 = 0,096;

P(H1) = 0,2 • 0,6 • 0,7 = 0,084;

P(H2) = 0,8 • 0,4 • 0,7 = 0,224;

P(H3) = 0,8 • 0,6 • 0,3 = 0,144;

P(H0) = 0,8 • 0,6 • 0,7 = 0,336.

(Контроль: = 0,024 + 0,056 + ... + 0,336 = 1.)

З огляду на, що в результаті досвіду відбулася подія А, Яке неможливо при гіпотезах H123, H12, H13, H23 і достовірно при гіпотезах H1, H2, H3, H0, Знайдемо умовні ймовірності подій Р (А | Hi):

Р(А | H123) = 1, Р(А | H12) = 1, Р(А | H13) = 1, Р(А | H23) = 1, Р(А | H1) = 0, Р(А | H2) = 0, Р(А | H3) = 0, Р(А | H0) = 0.

Знайдемо ймовірність гіпотези H12 за умови, що подія А відбулося (т. е. Р(H12 | А) За формулою Бейеса. Для цього попередньо знайдемо ймовірність події A за формулою (5.1)

-

Правило множення ймовірностей «-- попередня | наступна --» Локальна формула Муавра-Лапласа
загрузка...
© om.net.ua