загрузка...
загрузка...
На головну

Правило множення ймовірностей

УМОВНА ЙМОВІРНІСТЬ

Аксіоматичне визначення ймовірності

Нехай ? - множина всіх можливих результатів деякого досвіду (експерименту). згідно аксиоматическому визначення ймовірності, кожній події А (А - підмножина безлічі ?) встановлюється відповідно деяке число Р (А), зване ймовірністю події А, причому так, що виконуються наступні три умови (аксіоми ймовірностей):

P(A) ? 0; (3.1)

P(?) = 1; (3.2)

аксіома складання:, якщо, (3.3)

т. е. ймовірність суми попарно-несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

З аксіом (3.1) - (3.3) випливають основні властивості ймовірності P() = 0, т. Е. Ймовірність неможливого події дорівнює нулю,

2 P(A) + P() = 1.

3. 0 ? Р (А) ? 1 для будь-якої події А.

4. Р (А) ? Р (В), якщо А I В.

5., якщо і

Якщо безліч ? складається з п равновозможних елементарних подій, (т. е.), то ймовірність події А визначається за формулою класичного визначення ймовірності

де m - Число випадків (елементів) ?i, що належать безлічі А (Число сприятливих події А випадків), п - Число елементів множини ? (число всіх результатів досвіду).

приклад. В урні міститься 5 білих і 4 чорних кулі, які відрізняються лише кольором.

1) Виймається навмання одну кулю. Знайти ймовірність того, що він білий.

2) Виймаються навмання дві кулі. Знайти ймовірність того, що: а) обидві кулі білі; б) хоча б один з них чорний.

-Рішення. 1) Перенумеруем кулі. Простір елементарних подій можна записати у вигляді ? = {Б1, Б2, Б3, Б4, Б5, Ч1, Ч2, Ч3, Ч4}. Нехай подія А = {поява білої кулі}, тоді А = {Б1, Б2, Б3, Б4, Б5}.

Так як всі елементарні результати рівноможливими, то за класичним визначенням ймовірності.

2) При вийманні двох куль можливі такі результати: (Б1, Ч1), (Б2, Б3,), (Б3, Б2), (Ч4, Б5) І т. Д. Число всіх випадків одно .

а) виходячи, придатними для наступу події В = {Поява двох білих куль}, є (Б1, Б2), (Б1, Б3), (Б3, Б5), (Б3, Б1) І т. Д. Число таких випадків одно. Тому.

б) виходячи, придатними для наступу події С = {Поява хоча б одного чорного кулі}, є (Б1, Ч1), (Б1, Ч2), (Б1, Ч3), (Ч3, Б1), (Ч1, Ч2), (Ч3, Ч4) І т. Д. Число таких випадків одно (в 20 випадках з 72 з'являться два білих кулі (див. Пункт а), тому в інших випадках хоча б один з пари куль буде чорним. Звідси. Цей же результат можна отримати інакше, т . к., то .-

нехай А и В -деякі події, причому Р (В)> 0. Умовною ймовірністю події А за умови В (позначається Р (А | В) або PB (A)) Називається ймовірністю події А, знайдена за умови, що подія В відбулося. Ця ймовірність знаходиться за формулою

Аналогічно визначається умовна ймовірність події В за умови А

З цих формул слід

Теорема 4.1 (правило множення ймовірностей).Імовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншого за умови, що перша подія відбулася:

Р (АВ) = Р (А) • Р (В | А) = Р (В) • Р (А | В).

Означення умовної ймовірності, так само як і правило множення ймовірностей природним чином узагальнюються на випадок довільного числа подій. А саме, в разі п собитійімеем

P(A1 • A2 • ... • An) = P (A1) • P(A2 | A1) • P(A3 | A1A2) • ... • P(An | A1A2 • ... • An-1).

Геометричне визначення ймовірності «-- попередня | наступна --» ФОРМУЛА ПОВНОЇ ІМОВІРНОСТІ. ФОРМУЛА Бейеса
загрузка...
© om.net.ua