загрузка...
загрузка...
На головну

Геометричне визначення ймовірності

Класичне визначення ймовірності

ЙМОВІРНІСТЬ СЛУЧАЙНОГО ПОДІЇ

Теоретико-множинна інтерпретація операцій над подіями

Нехай проводиться деякий досвід з випадковим результатом.

Безліч ? = {?} всіх можливих взаємовиключних результатів даного досвіду (випробування, експерименту) називається простором елементарних подій (Коротко ПЕС), а самі результати ? - елементарними подіями (Або «елементами», «точками»).

випадковою подією (або просто подією) називається будь-яка підмножина безлічі ?.

Елементарні події, що входять в підмножина А простору ?, називаються придатними події А.

Безліч ? називається достовірною подією; йому сприяє будь елементарна подія, в результаті досвіду воно обов'язково відбудеться.

Порожня множина називається неможливою подією; в результаті досвіду воно відбутися не може.

Під операціями (діями) над подіями розуміються операції над множинами, точніше - подмножествами простору ?.

сума (або об'єднання) Двох подій А I ?і В I ? (позначається А + В або AEB) - Це безліч, яке складається з елементів, що належать хоча б одній з подій А и В.

твір (або перетин) двох подій А I ?і В I ? (позначається А • В або ACB) - Це безліч, яке складається з елементів, загальних для подій А и В.

різниця подій АI В и ВI А (позначається А - В або А \ В) - це безліч, яке містить ті елементи події А, які не входять до В.

протилежним події А I ?називается подія = ? \ А; безліч називають також доповненням множини А.

Подія А тягне подія В (або А є підмножина В), якщо кожен елемент події А міститься в В; позначається А I В.

За визначенням I А для будь-якого А.

події А и В називаються несумісними, якщо іхпроізведеніе (перетин) є неможлива подія, т. е. А • В =.

кілька подій A1, A2, ..., An утворюють повну групу несумісних подій, якщо іхсумма представляє все ПЕС, а самі події попарно несумісні, т. е. і

Повну групу, зокрема, утворюють події А і (А + = ?, А • = ?).

Операції над подіями (множинами) мають такі властивості:

1. А + В = В + А, А • В = В А (Переместительное);

2. (А + В) • С = А•З + В•С, А•В + С = (А + С) • (В + С) (Розподільчий);

3. (А + В) + С = А + (В + С), (А • В) • С = А • (В • С) (Сочетательное);

4. А + А = А, А • А = А;

5. A + ? = ?, A • ? = A;

імовірність події чисельно характеризує ступінь можливості його появи в розглянутому досвіді.

Нехай проводиться досвід з п рівноможливими наслідками, що утворюють повну групу несумісних подій. Такі результати називаються елементарними наслідками (подіями), випадками, шансами. Випадок, який призводить до настання події А, називається сприятливим (або сприятливим) йому.

ймовірністю події А називається відношення числа m випадків, що сприяють цій події, до загальної кількості п випадків.

Таке визначення ймовірності називається класичним.

З класичного визначення слідують властивості ймовірності: 0 ? Р (А) ? 1; P() = 0; P(?) = 1; P() = 1 - P(A); Р (А + В) = Р (А) + Р (В), якщо А • В = .

Узагальненням поняття «класичної ймовірності» на випадок дослідів з нескінченним (взагалі кажучи, незліченна) числом результатів є поняття «геометричній ймовірності». До цього поняття призводять завдання на підрахунку імовірності попадання точки в якусь область (відрізок, частина площині, частина тіла і т. Д.).

Нехай простір елементарних подій ? є деякою область площині. Тоді як подій можуть розглядатися області А, містяться в ?.

Ймовірність влучення в область А точки, навмання обраної з області ?, називається геометричній ймовірністю події А і знаходиться формулою

де S(А) і S(?) площі областей А і ? відповідно.

Випадок, коли ? є відрізком або тривимірну область, розглядається аналогічно (і відповідно).

ВИПАДКОВІ ПОДІЇ. ДІЇ НАД ПОДІЯМИ «-- попередня | наступна --» Правило множення ймовірностей
загрузка...
© om.net.ua