загрузка...
загрузка...
На головну

ВИПАДКОВІ ПОДІЇ. ДІЇ НАД ПОДІЯМИ

Схема вибору з поверненням

Схема вибору без повернень

ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ

ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ

зміст

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ .. 1

1 ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ .. 1

Схема вибору без повернень. 1

Схема вибору з поверненням .. 2

2 ВИПАДКОВІ ПОДІЇ. ДІЇ НАД ПОДІЯМИ .. 3

Теоретико-множинна інтерпретація операцій над подіями. 4

3 ЙМОВІРНІСТЬ СЛУЧАЙНОГО ПОДІЇ .. 5

Класичне визначення ймовірності. 5

Геометричне визначення ймовірності. 5

Аксіоматичне визначення ймовірності. 5

4 УМОВНА ЙМОВІРНІСТЬ .. 6

Правило множення ймовірностей. 6

Незалежні події. 7

Імовірність суми спільних подій. 7

5 ФОРМУЛА ПОВНОЇ ІМОВІРНОСТІ. ФОРМУЛА Бейеса .. 7

6 СХЕМА ВИПРОБУВАНЬ Бернуллі .. 9

Формула Бернуллі. 9

Поліноміальний розподіл. 9

7 НАБЛИЖЕНІ ФОРМУЛИ В схемою Бернуллі .. 10

Формула Пуассона. 10

Локальна формула Муавра-Лапласа. 10

Інтегральна формула Муавра-Лапласа. 10

8 дискретної випадкової величини ... 11

Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини. Закони біноміальний і Пуассона. 11

Числові характеристики дискретні випадкових величин. 12

У багатьох задачах класичної теорії ймовірностей використовується комбінаторика, т. е. розділ математики, в якому вивчаються різні сполуки (комбінації) елементів кінцевих множин.

Багато комбінаторні задачі можуть бути вирішені за допомогою двох правил - правила множення і правила складання.

Теорема 1.1.Правило множення: якщо з деякого кінцевого безлічі перший об'єкт (елемент а) Можна вибрати п1 способами, а другий об'єкт (елемент b) - n2 способами, то обидва об'єкти (а и b) В зазначеному порядку можна вибрати n1 • n2 способами.

Цей принцип поширюється на випадок трьох і більше об'єктів.

Теорема 1.2.Правило складання: якщо деякий об'єкт а можна вибрати n1 способами, а об'єкт b можна вибрати n2 способами, причому перші і другі способи не перетинаються, то будь-який з об'єктів (а або b) Можна вибрати n1 + n2 способами.

Це правило поширюється на будь-яке кінцеве число об'єктів.

Існують дві схеми вибору m елементів із заданої множини: без повернення, коли вибрані елементи не повертаються у вихідне безліч, і з поверненням, коли вибір здійснюється поелементно з обов'язковим поверненням відібраного елемента на кожному кроці.

Нехай дано безліч, що складається з п різних елементів.

Визначення. Розміщенням з n елементів по k елементів (0 ? k ? n) Називається будь-який упорядкований підмножина даного безлічі, що містить k елементів.

Два розміщення різні, якщо вони відрізняються один від одного або складом елементів, або порядком їх розташування.

Число розміщень з п елементів по k позначається символом і обчислюється за формулою

(1.1)

де n! = 1 • 2 • 3 • ... • n, Причому 1! = 1, 0! = 1.

зауваження. цей твір k зменшуються на 1 цілих чисел починаючи з п.

Визначення. Перестановкою з п елементів називается розміщення з п елементів по п елементів.

Таким чином, вказати ту чи іншу перестановку даного безлічі з п елементів означає вибрати певний порядок цих елементів. Тому будь-які дві перестановки відрізняються один від одного тільки порядком проходження елементів.

Число перестановок з п елементів позначається символом Рп і обчислюється за формулою

(1.2)

Визначення. Поєднанням з п елементів по k (0 ? k ? n) Називається будь-яка підмножина даного безлічі, яке містить k елементів.

Будь-які два поєднання відрізняються один від одного хоча б одним елементом (т. Е. Відрізняються тільки складом елементів). Число сполучень з п елементів по k позначається символом і обчислюється за формулою

(1.3)

Для чисел (вони називаються біноміальними коефіцієнтами) справедливі наступні тотожності:

(Правило симетрії),

(Правило Паскаля),

; ;

Якщо при впорядкованої вибірці k елементів з п елементів повертаються назад, то отримані вибірки представляють собою розміщення з повтореннями. Число всіх розміщень з повтореннями з п елементів по k позначаються символом і обчислюється за формулою

(1.4)

Якщо при вибірці k елементів з п елементів повертаються назад без подальшого впорядкування (таким чином, одні й ті ж елементи можуть вийматися по кілька разів, т. е. повторюватися), то отримані вибірки є поєднання з повтореннями. Число всіх сполучень з повтореннями з п елементів по k позначається символом і обчислюється за формулою

(1.5)

Нехай в безлічі з п елементів є k різних типів елементів, при цьому 1-й тип елементів повторюється п1 раз, 2-й - п2 раз, ..., k-й - пk раз, причому п1 + п2 + ... +пk = п. Тоді перестановки елементів даної множини являють собою перестановки з повтореннями.

Число перестановок з повтореннями (іноді говорять про число розбиття безлічі) з п елементів позначається символом і обчислюється за формулою

(1.6)

Підсумкова зведення формул наведена в наступній таблиці.

Таблиця 1 - Зведення формул для кількості різних видів вибірок

 вибірка  порядок важливий  Порядок не важливий
   частина елементів  всі елементи  
   розміщення  перестановки  сполучення
 без повторень      
 З повтореннями   (п1 + п2 + ... +пk = п)  

Примітка. Щоб знайти по таблиці потрібну формулу для кількості комбінацій, потрібно відповісти на наступні питання: «Чи допускаються повторення елементів при отриманні комбінації?», «Чи важливий порядок елементів в отриманої комбінації» і якщо порядок важливий, то «У комбінації всі елементи вихідного безлічі або тільки їх частина? »

Примітка 2. Формула Стірлінга для наближеного обчислення факторіала при великих n

Приклад. Скільки різних тризначних чисел можна скласти з цифр 0, 2, 3, 5, 7 якщо:

а) цифри не повторюються; б) цифри можуть повторюватися?

Рішення. а) Першу цифру можна вибрати чотирма способами (числа виду 025 = 25, 073 = 73, ... не вважаємо тризначними). Вибравши першу цифру (наприклад, цифру 5), другу цифру можна також вибрати чотирма способами (другий цифрою може бути будь-яка з решти 0, 2, 3, 7). Третю цифру, очевидно, можна вибрати трьома способами. Отже, згідно з правилом множення є 4 • 4 • 3 = 48 способів розстановки цифр, т. Е. Шуканих тризначних чисел буде 48 (ось деякі з них: 500,237, 530,702, ...).

б)Зрозуміло, що якщо цифри можуть повторюватися, то тризначні числа можна скласти
 4 • 5 • 5 = 100 способами (ось деякі з них: 222, 200,332, ...).

Приклад 2. У потоці 79 студентів. В лекційній аудиторії 90 місць. Скільки існує варіантів розміщень студентів на лекції.

Рішення. Так як на лекції можуть бути присутні не всі студенти з потоку, то позначимо кількість присутніх через n. Очевидно, що n - Ціле від 0 до 79. Кількість способів вибрати n студентів з 79 дорівнює кількості сполучень з 79 осіб по n (Т. К. Порядок присутніх не важливий, кожен студент може бути присутнім тільки один раз на одній лекції і береться тільки частина студентів). присутні n студентів розміщуються в аудиторії (порядок важливий, без повторень і зайняті тільки частина місць аудиторії), тому кількість способів дорівнює. Так як присутність і розташування в аудиторії визначаються незалежно, то по теоремі множення кількість способів, при яких в аудиторії знаходиться n студентів одно. Так як кількість присутніх в аудиторії визначається однозначно (наприклад, не може бути відразу і ровно56 і рівно 72 студента), то по теоремі складання шукана кількість варіантів одно. Значення цього виразу можна легко знайти, використовуючи комп'ютер:. Цей приклад є гарною ілюстрацією того, наскільки швидко росте кількість комбінацій навіть при не дуже великих вихідних множини. Зауважимо, що можна додатково вимагати, щоб кількість студентів було не менше чверті загальної чисельності, тоді отримаємо. А при відсутності менш від загальної кількості студентів (т. Е. 10 осіб) отримуємо, що становить 99,28% від загальної кількості способів!

випадковою подією (або просто: подією) називається такий результат досвіду (випробування, експерименту, спостереження), який може статися або статися.

Події позначаються, як правило, великими літерами латинського алфавіту А, В, С, ...

подія називається достовірним, якщо воно обов'язково настане в результаті даного досвіду; достовірна подія позначається через ?.

подія називається неможливим, якщо воно явно не станеться в результаті проведення досліду; неможлива подія позначається через.

Дві події називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої події в одному і тому ж досвіді; в іншому випадку події називаються спільними.

події A1, A2, ..., An називаються попарно-несумісними, якщо будь-які два з них несумісні.

події A1, A2, ..., An утворюють повну групу, якщо вони попарно несумісні і в результаті кожного досвіду відбувається одне і тільки одне з них.

Кілька подій в даному досвіді називаються рівноможливими, якщо жодна з них не є об'єктивно більш можливим, ніж інші (т. е. все події мають рівні «шанси»).

Сумою подій А и В називається подія С = А + В, яке відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається хоча б одна з подій А и В (Т. Е. Або А, або В, або обидва разом).

Твором подій А и В називається подія С = А • В, яке відбувається тоді і тільки тоді, коли відбуваються обидві події А и В (Т. Е. І А и В разом).

Різницею подій А и В називається подією С = А - В, яке відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається подія А, але не відбувається В.

Подія А тягне подія В (Або: А є окремим випадком В), еслііз того, що відбувається подія А, слід настання події В; записують це так: АI В.

якщо АI В и ВI А, то події А і В називаються рівними; позначається це в такий спосіб: А = В.

Протилежним події А називається подія , яке відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається подія А.

ОРГАНІЗАЦІЙ «-- попередня | наступна --» Геометричне визначення ймовірності
загрузка...
© om.net.ua