загрузка...
загрузка...
На головну

Основні закони алгебри множин

алгебра множин

Умовні пріоритети операцій над множинами

З метою спрощення запису формул прийнято керуватися наступними правилом економії дужок:

при відсутності дужок порядок виконання операцій над множинами визначається послідовністю:

O,\, A, I, U .

(теоретико-множинний аналог алгебри дійсних чисел)

Алгебра множин -сукупність тотожностей, справедливих незалежно від того, яке універсальне безліч і які саме його підмножини входять в ці рівності.

1) Комутативні (переместітельності) закони

А E В = В E А

А C В = В C А

А D В = В D А

2) Асоціативні (асоціативні) закони

А E (В E С) = (А E В) E С

А C (В C С) = (А C В) C С

3) Дистрибутивні (розподільні) закони

А E (В C С) = (А E В) C (А E С)

А C (В E С) = (А C В) E (А C С)

4) Закони з ? и U

А E ? = А А C U = А А E= U

А C ? = ? А E U = U А C= ?

= ? = U

6) Закони ідемпотентності

А C А = А А E А = А= А

7) Закони поглинання

А E (А C В) = А

А C (А E В) = А

8) Закони де Моргана

= E

= C

9) Закони склеювання

(А C В) E (C В) = В

(А E В) C (E В) = В

Лекція №2: Теорія відносин

Кортеж, набір, вектор -впорядкована послідовність елементів, в якій кожен елемент займає певне місце.

Елементи, що утворюють вектор, називаються координатами або компонентами вектора.

Число координат вектора називається довжиною або розмірністю вектора.

- Порожній кортеж,

- Одноелементний кортеж,

- Пара, двуелементний кортеж,

- Кортеж довжини nабо n-ка ( "енка").

Пряме (декартово) твір множин - Безліч всіляких упорядкованих наборів , Таких, що перший елемент належить множині , Другий - безлічі , -й - безлічі :

.

декартово твір , В якому одне і теж безліч множиться раз саме на себе - декартова ступіньбезлічі : .

Пряме (декартово) твір множин Х і Y - Безліч всіляких упорядкованих пар (двуелементних кортежів), таких що:

Х x Y = {(x, y) | xIX, yIY}.

при безліч називається декартовой ступенембезлічі Xі позначається X2.

наприклад:

нехай , , тоді , .

- Безліч точок площині, - Безліч точок мірного простору.

Шахова дошка: , ,

Деякі властивості прямого твори:

1)

2) ;

3)

4)

- арное ставлення на множинах - Це будь-яке, довільна підмножина декартова твори цих множин:

Якщо набір елементів належить відношенню , То кажуть, що елементи перебувають у відношенні

- арное ставлення на безлічі - Це будь-яке, довільна підмножина - Й декартовой ступеня цієї множини:

бінарне відношення на множинах X и Y - Довільна підмножина прямого твори двох множин:

r I Х x Y = {(x,y) | xIX, yIY}.

якщо r I Х2, То кажуть, що відношення r задано на множині Х.

якщо (x,y) Ir,то кажуть, що (x,y) знаходяться у відносинах rабо пов'язані ставленням r: х r yабо y = r (х).

Область визначення Drбінарного відносини - безліч перших координат кожної впорядкованої пари відносини :

Dr = {X | (X, y) I r}.

Область значень Jrбінарного відносини - безліч друге координат кожної впорядкованої пари відносини :

J r = {Y | (X, y) I r}.

Способи завдання відносин

1) Список пар або характеристичне властивість.

Будь-яке бінарне відношення (як безліч) може бути задано у вигляді списку пар, з яких складається відношення, або з використанням характеристичного або визначального властивості.

r = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}на r I Х2, Х= {1,2,3,4} або

}.

2) Матриця відносини.

У матриці відносини рядки відповідають елементам безлічі , Стовпці елементів безлічі , Елемент матриці дорівнює:

якщо , а , То матриця відносини має розмірність

r = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} на r I Х2, Х= {1,2,3,4}.

Аr=
2

3) Графічне зображення відносин.

На площині зображуються точками елементи множин . якщо пара належить відношенню, то з'єднуються точки, що зображують , Лінією, спрямованої від першого елемента до другого. Позначаючи таким чином всі пари, що належать відношенню, отримуємо фігуру, яка називається графом відносини.

r = {(1,5), (2,4), (3,6), (6,2)} на r I Х2, Х= {1,2,3,4,5,6}.

Операції над множинами «-- попередня | наступна --» Операції над відносинами
загрузка...
© om.net.ua