загрузка...
загрузка...
На головну

Тіні конуса і циліндра в різних приватних положеннях

Дивіться також:
  1. I. Суди, т. Е. Органи, що здійснюють правосуддя в його різних формах.
  2. V. Усвідомлення виконання різних дій для виявлення і освоєння способів навчальних завдань
  3. V. Рівняння в приватних похідних першого порядку.
  4. XIII. Політика в різних сферах суспільства
  5. Активний і пасивний типи адаптації та їх вплив на швидкість розвитку різних Рас
  6. Алгоритм оцінки економічної ефективності УР, види ефекту, показники, області отримання. Вплив різних факторів на економічну ефективність УР.
  7. Аналіз боротьби між конкурентами на різних ринках.
  8. Аналіз взаємодії в різних теоретичних підходах.
  9. Аналіз узагальнюючих, приватних та допоміжних показників продуктивності праці
  10. Аналіз різних схем захисту сигнальної ланцюга шляхом екранування
  11. Б. Поняття цивілізація в різних теоріях
  12. Базисні розрахункові залежності для визначення інтенсивності теплообміну при різних режимах плину в прикордонному шарі

а) Тінь конічної арки в формі усіченого полого півконуса, лежачого на Н, Представлена на рис. 13 і побудована при заданому промені рр '.

Для відшукання на плані лінії ks,відокремлює освітлену частину поверхні конуса від неосвітленій, використовуємо правило 1. Будуємо уявну тінь sos 'овід вершини S на площину Р підстави конуса і на фасаді з s 'o проводимо дотичну до кривої підстави в точці k ', яку потім по вертикалі переносимо на план в k.поєднуючи kс s, и k 'с s ' ми і отримуємо проекції шуканої тіньової утворює. Якщо після цього побудувати на Н тінь k0від kk ',знайшовши горизонтальний слід k0 променя, проведеного через kk ', і з'єднати koс s,то вийде тінь на Нвід тіньової утворює конуса. Побудова тіні, що падає на Нвід арки, завершиться, якщо з точок 7и 5 на плані провести напівеліпс, що стосується лінії kosв точці ko,і інший напівеліпс через точки 8 и 9,паралельний першому і що стосується до тієї ж лінії. Для побудови кривої k'3'6 ',що є тінню на фасаді всередині арки, слід знайти перетин з внутрішньою поверхнею конуса циліндричної променевої поверхні, утвореної рухом променя світла (що залишається паралельним самому собі) по кривій направляючої, що є підставою конуса. Для цього проводимо допоміжні січні площини через пряму SSo,проведену з Sпаралельно утворюючим променевого циліндра, так як такі площини будуть давати найпростіші перетину на конусі та на променевому циліндрі, саме - що утворюють. Проводимо, наприклад, слід s01 ' на площині Рпідстави конуса через точку 1 ' фасаду і відзначаємо точку 2 'перетину його з кривою підстави конуса.

лінія 2's ' буде вертикальної проекцією лінії перетину проведеної допоміжної площини з поверхнею конуса. лінія 1'3 'паралельна вертикальній проекції променя, буде вертикальною проекцією лінії перетину тій же площині з поверхнею променевого циліндра (слід врахувати, що підстава конуса і циліндра загальне). Стало бути, точка 3 ' є вертикальна проекція точки, що лежить як на поверхні конуса, так і на поверхні променевого циліндра.

Щоб знайти точку IVпідстави конуса, промінь з якої падає на П'ятова утворить V- S конічної арки, чинимо так. крапку 5 ' з'єднуємо з s 'o і отримуємо, таким чином, слід на Рплощині, що проходить через S і через П'ятова утворить. Така площину перетне циліндр променів за таким променю, вертикальна проекція якого піде з точки 4 ' перетину сліду 5's '0 з проекцією підстави конуса. Отже, точка 6 ' і буде вертикальної проекцією тіні, що падає or точки IVдуги арки на П'ятова утворить. Крапка k ' очевидно, буде початковою точкою шуканої тіньової кривої. Поєднавши на фасаді точки k ', 3'и 6 'плавною кривою, отримуємо на фасаді контур тіні від дуги арки на внутрішню поверхню арки. Слід врахувати, що ця крива є частина дуги еліпса, так як вона є результат перетину таких циліндра і конуса, які побудовані на загальній направляючої, що є підставою конуса (теорема про розпад кривої перетину).

б) Тінь циліндричної арки в формі полого напівциліндра, лежачого на Н,представлена на рис. 14 і побудована при направленні променя світла рр '.Перш за все визначається за правилом 2крапка kk ', з якої виходить тіньова утворює циліндра, як точка дотику до кривої підстави циліндра прямий, паралельної лінії cb - с'b 'є уявної тінню, що падає на вертикальну площину Рпідстави циліндра від відрізка ас - а'с ',паралельного осі циліндра і

взятого в довільному місці.

Мал. 14

При цьому точка сс '- Кінець відрізка, як лежить в площині Р підстави циліндра, сама собі тінь, а від точки аа 'тінь падає, як видно, в точку bb '.Тінь, яка падала від напівциліндра на Н,побудована після того, як знайдена точка k0 - тінь на Н від точки дотику kk '. через k0 піде тінь на Н від тіньової утворює самого циліндра у вигляді прямої, паралельної осі циліндра. Вона стосуватиметься (з одного боку в точці k0) до напівеліпса, що є тінями на Н від напівкруглих дугаркі. Для правильного накреслення цих напівеліпса можна близько напівкруглих підстав арки описати прямокутники і спочатку побудувати тіні цих прямокутників на Нв формі паралелограма, а потім вписати в останні напівеліпса.

На рис. 14 показано побудову тіні g0від однієї вершини переднього прямокутника. ця точка g0і дозволить побудувати весь паралелограм, так як лінія gofo повинна бути паралельна і дорівнює лінії fg.Паралелограм, що є тінню від заднього прямокутника, немає необхідності будувати, так як задній напівеліпс будується як паралельний передньому.

Видима на фасаді крива k '-10-9 'є проекцією тіні, що падає від дуги арки на внутрішню поверхню арки. Ця крива в просторі є результат перетину даного циліндра з циліндром променів, і так як ці циліндри мають загальну підставу, крива перетину їх є еліпс. Щоб побудувати точку Xзустрічі з внутрішньою поверхнею арки променя, що виходить з довільної точки I дуги арки, проводимо через цей промінь площину I-X-XI,паралельну площині трикутника ABC.Така площину розсіче циліндр-арку по котра утворює X-XI,а циліндр променів - по котра утворює I-X,так як вона паралельна такій площині ABC,у якій лінія АС паралельна утворюючим циліндра-арки, а лінія АВпаралельна утворюючим циліндра променів, і, крім того, лінія I-XIє слідом площини I-X-XIна площині Р основи циліндра. Отже, щоб знайти на фасаді точку типу 10 ',потрібно взяти довільну точку 1 ' на дузі арки, провести пряму 1 '-11' паралельно с'b ' до зустрічі з дугою арки в точці 11 ', а пряму 1 '-10 '-параллельно А ''до зустрічі в точці 10 ' з прямою 11'-10 ',паралельної а'с '.Щоб знайти точку 8 'на дузі арки, з якої проекція променя потрапляє в точку 9 'на проекцію П'ятов утворює арки, проводимо з кінця е 'проекції цієї П'ятов утворює лінію е'8 ',паралельну с'b ',до зустрічі з дугою арки в точці 8 '.Пряма, проведена через точку 8 ', паралельна a'b ' і дає точку 9 '.знайдені точки k ', 10'и 9 'дозволяють наближено накреслити дугу еліпса

k'10,11 ', є шуканої тінню, що падає від дуги арки на внутрішню її поверхню.

На рис. 14 показано ще побудова тіні, що падає на Ні на поверхню циліндра від екрану в формі прямокутника QRSз вертикальним катетом RS і вершиною в точці ss '. Хід побудови за допомогою методу зворотних променів наступний.

1) Спочатку побудована тінь на Нтрикутника шляхом знаходження точки Msяк горизонтального сліду променя з S.2) Потім відкинуті тіні на Hвід двох довільних утворюють арки I-II и III-IV, (Див. Лінії 1020и 3040); для цього досить було, очевидно, з точок 1и 3провести горизонтальні проекції променів до зустрічі з еліптичної тінню від дуги арки і з точок зустрічі провести прямі, паралельні проекція утворюють циліндра. 3) Після цього відзначені точки 70, 60, 50перетину тіні гіпотенузи з тінями від твірних циліндра і з цих точок проведені проекції зворотних променів до зустрічі в точках 7, 6и 5з проекціями відповідних твірних циліндра. Плавне крива а-56-7 і буде проекцією тіні, що падає від гіпотенузи трикутного екрану на поверхню арки.

Що стосується горизонтальної проекції тіні, що падає на поверхню арки від вертикального катета трикутника, то, оскільки променева площину Q, що проходить через нього, є проектує на Н, тінь на Нвід катета буде в формі прямої, що збігається з проектує слідом площині. По горизонтальній проекції тіні визначена потім і вертикальна проекція.

На рис. 15 показано на фасаді побудова тіньової утворює k '- k'на чверті циліндра В, насадженого на усічену піраміду А.Завдання практично можна вирішити так. нехай а 'oбуде тінню, що падає на площину підстави циліндра від вершини а ' піраміди.

отже, b'а 'о буде тінню на тій же площині підстави від відрізка А '',паралельного осі циліндра. Тоді, на підставі правила 2,ми маємо право провести до кривої підстави дотичну, паралельну b'а 'o і знайти, таким чином, точку k ', з якої і піде шукана тіньова утворює циліндра. тінь а 'o с' на площині підстави від ребра а'е' піраміди повинна при продовженні пройти через точку d 'перетину ребра е'а 'з лінією т 'b'перетину грані піраміди з площиною основи циліндра. Звідси випливає: щоб знайти тінь, яка падає від ребра на грань, досить мати одну точку цієї тіні, як так другою точкою буде точка зустрічі ребра з гранню.

Це вказівка надзвичайно полегшує побудова тіней на практичних кресленнях.

З розгляду способу побудови тіні на рис.15 випливає, що якщо відмовитися від напрямку променя світла по діагоналі куба і задатися тінню від будь-якої точки одного тіла на обрану площину або поверхню іншого тіла, то можна будувати тінь з однієї проекції, і до того ж найкоротшим способом. Зокрема, і на рис. 14 для побудови всієї тіні можна було б задатися, наприклад, на фасаді точкою g 'на П'ятова утворює арки, вважаючи її проекцією тіні від довільно обраної точки VIIIна дузі арки, і тоді лінію 8'е 'треба вважати фасадом тіні від відрізка IX - Ена площині основи циліндра або (що, очевидно, одне і те ж) треба вважати лінію VIII-Еортогональною проекцією променя світла на площину підстави циліндра. Виходить на фасаді замкнутий трикутник 8 '- g' - е ',який буде служити орієнтиром для побудови як проекції променя світла на Н, так і всіх інших точок тіні. Так, якщо ми побудуємо ?1 '-10' - 11 ' зі сторонами, паралельними сторонам названого орієнтує трикутника, і так, щоб сторона 1 '-11'

була хордою дуги арки, то вершина 10 'цього трикутника буде точкою тіньової лінії всередині арки. Крапка k 'знаходиться як точка дотику до дуги арки на фасаді прямий, паралельної проекції 8'е ' променя світла на площину підстави циліндра. Для побудови всіх інших тіней слід при цьому методі знайти горизонтальну проекцію променя світла шляхом знесення по вертикалях на план точок 8 'и g '.

в) Особливості проектують площин, стосовно теорії тіней, можуть бути угледівши з рис. 16, на якій показана тінь, падаюча на Н,на V, на конус і на піраміду від профільної стінки, що має форму паралелепіпеда.

 Мал. 15

Як видно, вертикальне ребро QUдає горизонтально проектує променеву площину Р.проекція на Нкривої, по якій ця площину розсікає конус S, зливається з проектує слідом Rh,і тому тінь на плані від вертикальної, лінії завжди буде прямою лінією, що збігається з проекцією променя, незалежно від того, на яку поверхню падає тінь.

З іншого боку ребро RQ,перпендикулярний до фасадної площини, дає вертикально проектує променеву площину М.

Ця площина розсікає піраміду Т по трикутнику, проекція якого на Vзливається з вертикально проектує слідом Mv.Таким чином, тінь на фасаді від лінії, перпендикулярної до фасадної площини, завжди буде прямою лінією, що збігається з проекцією променя, незалежно від того, на яку поверхню падає тінь.

г) Тіні, які падають на поверхню кругового конуса від плоского багатокутника, за своїм обрису дають конічні перетину. На рис. 17 побудована тінь від екрану ABCDEна поверхні конуса. Вона являє собою замкнуту фігуру, обмежену п'ятьма лініями; кожна з них представляє одне з можливих характерних плоских перетинів конуса.

 Мал. 16

так, IV-Bоє гіперболічна крива, так як променева площину, що включає цю криву і проходить через АВ, паралельна осі конуса і, отже, паралельна двом утворюючим конуса; В0С0є параболічна крива, так як променева площину, що включає цю криву і проходить через ВС,паралельна одній що утворює конуса (Bc || srи b'c '|| s'r'); C0D0- еліптична крива, так як променева площину, що включає її і проходить через пряму CD,перетинає і все що утворюють конуса; D0V є пряма лінія, так як променева площину, що включає її і проходить через DE,проходить через вершину S конуса; V - IVє дуга окружності, завершальна контур падаючої тіні.

Для побудови цього контуру використаний метод зворотних променів в наступному вигляді.

1) Від екрану ABCDE і від конуса Sпобудовані тіні, падаючі
 на Н. Оскільки площину підстави конуса паралельна Н,тінь
 від нього на Нвийшла в формі кола такого ж діаметру. для
 визначення тіньових утворюють ks - k's 'бічній поверхні конуса знайдені точки k0 - kоторкання до тіньової окружності тіньових
 утворюють Msk0 - Msk0і перенесені на плані на окружності підстави конуса проекціями зворотних променів в точки k-k.

Поєднання цих точок з проекцією s вершини конуса дає горизонтальні проекції шуканих тіньових утворюють, за якими знайдені і вертикальні проекції k's '- k's '.

2) Точки Vи IVзнайдені шляхом перенесення горизонтальних їх
 проекцій 4 и 5 нафасад, а точка Doзнайдена спочатку на фасаді
 у вигляді точки d 'oперетину вертикальної проекції d'd 'oсвітлового
 променя з проекцією 5's ' утворює, а потім і на плані.

3) Для побудови точок Вои Со через тіні цих точок на Н,
саме через точки Мbи Мс, проведені допоміжні лінії


MsMb и MSMC,які і продовжені до зустрічі з тіньовою окружністю підстави в точках 20 и 10; ці останні точки перенесені
 проекціями зворотних променів на проекцію кола основи
 в точки 2и 1, які з'єднані з точкою S.

 Мал. 17

Тоді перетин отриманих утворюють 2sи 1sз горизонтальними проекціями променів сМс и b і дає точки с0и b0,які потім перенесені на фасад в со'bо'.

Для більш точного нанесення дуг названих кривих конічних перетинів корисно накреслити ці криві на всій поверхні конуса, що і зроблено на фасаді.

д) Зміна тіні прямого кругового конуса залежно від зміни кута нахилу твірної його до основи показано на рис. 18. Визначення контурів тіней вироблено за правилом 1 (рис. 11) при направленні проекцій променів світла під кутом 45 ° к Ох,що відповідає напрямку променя світла в просторі по діагоналі куба. Але діагональ куба, як відомо, становить з будь-якої його гранню кут, тангенс якого дорівнює а це відповідає розі в 35 ° 15'54 '' або з округленням в 35 °.

Як видно на рис. 18, а, уявна тінь s0 від вершини конуса падає всередину площі підстави, а це значить, що при куті нахилу твірної конуса до основи, меншому 35 °, вся поверхня конуса, зверненого вершиною вгору, освітлена, а у конуса з вершиною вниз - затемнена. При куті нахилу твірної в 35 ° промінь світла, проведений через вершину, ковзає по поверхні конуса і тінь від S,як видно на рис. 18, б, падає в s0 на окружність підстави; отже, вся нижня статі конуса освітлена, а вся верхня - затемнена. Крапка kk 'на окружності підстави вважається тіньової точкою і утворює sk, s'k '- Тіньовий утворює.

Отже, для отримання k 'на фасаді потрібно з s ' провести лінію під кутом 45 ° до зустрічі з проекцією підстави.

При куті нахилу, більшому 35 ° і меншому 45 ° (Рис. 18, в), Тінь від S падає в точку soпоза площі підстави, і на поверхні нижньої підлоги конуса з'являється тіньовий сектор, що займає менш 1/4окружності, а на поверхні верхньої підлоги - сектор, що займає більш 3/4окружності.

При куті нахилу твірної в 45 ° (Рис. 18, г) тінь s0від вершини S потрапляє в вершину описаного навколо основи квадрата, і тому на нижній поле конуса 1/4поверхні затемнена, а на верхній полі

освітлена 1/4 окружності, звернена до джерела світла.

Отже, тіньові точки окружності підстави на фасаді знаходяться на нижній поле конуса в середині і праворуч, а на верхній - в середині і зліва.

При куті нахилу твірної більш 45 ° (Рис. 18, а) ні нижньої поле конуса буде затемнено більш 1/4 поверхні, але менше 1/2її, а на верхній більше 1/2, але менше 3/4поверхні.

Легко помітити, що якщо вершина ss ' конуса буде віддалятися від підстави, то тінь s0на площині підстави буде все більше віддалятися від s, І, нарешті, коли вершина конуса у йде в нескінченність, т. Е. Коли конус звернеться в циліндр, точка s0піде в нескінченність у напрямку під кутом 45 ° к Ох,обидві підлоги конуса зіллються в одну загальну поверхню і 1/2, Поверхні стане затемненій (рис. 18, е); з креслення видно, як знайти на фасаді відстань авід осі до тіньової утворює, не користуючись планом. Для цього треба провести два напрямки під кутом 45 ° з осьової і крайньої точок до взаємної зустрічі і описати півколо, як показано на кресленні; при цьому радіус циліндра розділиться щодо 0,707 і велика частина його буде дорівнює ?.

Що стосується побудови тіньових утворюють конуса по одному фасаду, без використання плану, то, як видно (рис. 18, д), можна вчинити так. з вершини s ' і з центру про 'проводять два напрямки під кутом 45 ° до взаємної зустрічі в точці з ', а потім описують одну окружність з центру з 'радіусом с'о ',а іншу з центру про 'радіусом, рівним радіусу підстави конуса. Після цього точки 1 и 2 перетину цих кіл переносять по вертикалях на Охв точки k'1и k '2,які з'єднують з s '.

утворюють s'k'1и s'k '2і будуть шукані тіньові утворюють.

Мал. 18


Мал. 19

Справедливість цього побудови стає очевидною, якщо зауважити, що окружності про ' и з 'представляють той же план, але останній піднято догори настільки, що точка оплану поєднана з точкою про ' фасаду.

Всі розібрані випадки для конуса слід запам'ятати, щоб можна було в подальшому, не користуючись планом, будувати тіні на фасадах конусів, які використовуються як допоміжні поверхні, описані навколо поверхонь обертання, при побудові тіней останніх.

е) Тінь, що падає від прямого кругового циліндра на фронтальну площину, можна побудувати, виходячи з одного фасаду і не користуючись планом, якщо відомий винос осі циліндра. Справді, для побудови тіні з 'о(Рис. 19) на фронтальну площину (в даному випадку на площину V) Від центру С окружності нормального перетину циліндра треба відкласти вправо і вниз від вертикальної проекції цього центру винос осі ус. Після цього потрібно відкласти від тіні осі вправо і вліво по 2а, де а є відстань від вертикальної проекції осі циліндра на фасаді до тіньової лінії циліндра. Це відстань дорівнює 0,707 радіуса циліндра і визначається графічним способом, зазначеним вище.

тінь циліндра «-- попередня | наступна --» ТІНІ ПОВЕРХОНЬ ОБЕРТАННЯ З криволінійною твірною
загрузка...
© om.net.ua