загрузка...
загрузка...
На головну

В результаті такої заміни ми отримали рівняння алгебри

Дивіться також:
  1. I. Спосіб заміни площин проекції
  2. I. Рівняння площини, що проходить через дану точку перпендикулярно даному вектору
  3. III. Загальне рівняння площини
  4. Абсолютна чисельність населення. Рівняння демографічного балансу
  5. Аналітичне рівняння пресування
  6. Б. при значному скупченні громадян, якщо в результаті його застосування можуть постраждати випадкові особи
  7. Без позитивної емоційного забарвлення, що виникає в результаті тих чи інших вчинків, довгострокова діяльність людини неможлива в принципі.
  8. У діяльності юристів-практиків має місце такий вид тлумачення норм права як
  9. Залежно від порушеного в результаті мутації первинного продукту гена виділяють наступні групи генних хвороб.
  10. У яких випадках потрібно ремонт автоскла, а в яких вже необхідна заміна лобового скла? Доцільність та практична економіка ремонту або заміни лобового автоскла.
  11. У деяких випадках потрібно аналітичне рішення задачі. Виведемо рівняння ВЛП.
  12. В останні роки набули застосування

 1.16

Якщо в рівнянні (1.15) замість функції часу у (t) и х (t) ввести функції х (р) и у (р) комплексного змінного р = ? ± j? , Поставивши умовою що записані функції пов'язані ставленням

 1.17

то виявляється що диференціальне рівняння, що містять х (t) и у (t) рівносильно рівнянню алгебри виду

 1.18

Слід зазначити, що трансформація диференціального рівняння в представлене алгебраїчне можливо тільки при нульових початкових умовах. І це перетворення в математиці називають перетворенням Лапласа. функції х (р) и у (р) називають зображеннями функцій х (t) и у (t), а самі функції х (t) и у (t) називають оригіналами функцій х (р) и у (р).

Перехід від шуканої функції у (t) до зображення у (р) називають прямим перетворенням Лапласа, і позначають

 1.19

Перехід же від зображення у (р) до оригіналу у (t) називають зворотним перетворенням Лапласа

 1.20

З порівняння рівнянь (1.18) і (1.16) видно, що обидві форми запису збігаються, з чого випливає, що оператор диференціювання ототожнюється з комплексної змінної р при нульових початкових умовах.

Використання операторної форми подання рівнянь дозволяє уникнути розв'язання диференціальних рівнянь шляхом вирішення системи алгебраїчних рівнянь. Знаходження оригіналів по зображеннях можна провести використовуючи або довідкові таблиці, або формулу розкладання.

Взявши за основу формулу (1.18) можна знайти відношення

 1.21

передавальної функцією W (р) називають відношення зображення по Лапласа вихідної величини до зображення вхідної величини при нульових початкових умовах.

З рівняння (1.21) можна записати

 1.22

Многочлен, що фігурує в знаменнику передавальної функції називається характеристичним многочленом, а в разі прирівнювання його у нулю рівняння називається характеристичним.

 1.23

Коріння характеристичного рівняння називають полюсами передавальної функції. Коріння многочлена, розташованого в чисельнику передавальної функції, називають нулями передавальної функції.

§1.14. Поняття про типові вхідних сигналах (впливах).

Оцінку динамічних властивостей САУ, т. Е. Їх поведінку в перехідних режимах можна виконати різними методами. Рішення динамічного рівняння, яким описується ланка або система при заданих початкових умовах також відображає їх динаміку. Воно являє перехідний процес ланки або системи в часі. Для порівняння різних динамічних властивостей різних елементів розглядають їх перехідні процеси, при нульових початкових умовах і типових вхідних впливів.

Початкові умови - це значення вихідної величини, а також всіх її похідних в момент часу дорівнює нулю, за умови, що до цього часу зовнішній вплив відсутні. Ці початкові умови є нульовими, т. К. y (t0) = Y'(0) = ... = yn(0) = 0.

В якості типових вхідних впливів приймають певні форми впливів, найбільш зручні з точки зору їх математичного опису, практичної реалізації та опису реакції ланки на ці дії. Іншими словами, вхідний вплив має бути простим, не ускладнює рішення рівняння і відповідати найважчому режиму роботи системи з числа зустрічаються при її експлуатації.

Розрізняють типові вхідні впливу, описувані такими функціями:

1. ступінчастою

2. імпульсної

3. гармонійної

Перші дві функції є тимчасові характеристики ланки або системи, а остання - частотні характеристики.

1. Одиничне поетапне вплив.

Воно описується одиничною ступінчастою функцією:

а) "Включення" 1 (t)

 1.24

б) "Відключення" 1 (t)

 1.25

в) "Включення з затримкою"

 1.26

г) "Відключення з затримкою"

 1.27

2. Імпульсний вплив (одиничний імпульс).

Імпульснавплив описується одиничною імпульсної функцією d - Дірака (D (t)) є математичною ідеалізацією короткого імпульсу, площа якого дорівнює одиниці, при його тривалості рівною нулю і амплітуді рівний + ?:


 1.28

властивість d (t): площа цієї функції дорівнює 1:

 1.29

 1.30

3. Гармонійне вплив.

Такий вплив описується гармонійної функцією виду:

 1.31

Якщо до ланки або системі докладено вплив, що відрізняється від ступеневої або імпульсного, то його представляють у вигляді суми послідовних імпульсних або східчастих впливів на ланка або систему. Реакція ланки або системи на такий вплив може бути отримано з використанням інтеграла Дюамеля.

§1.15. Тимчасові характеристики.

До тимчасових характеристик відносяться:

1. Перехідна функція - реакція ланки або системи на одиничну ступінчасту функцію при нульових початкових умовах, називається перехідною функцією, яку позначають як h (t) і при x = 1 (t) маємо:

 1.32

Або переходячи від зображення до оригіналу:

 1.33

Графічне зображення перехідної функції називається перехідною характеристикою ланки. Покажемо найбільш поширені перехідні характеристики:


1. лінійна, що встановилася.

2. апериодическая.

3. коливальна, загасаюча.

2. Перехідна імпульсна функція (функція ваги або вагова функція)

Нормальна реакція ланки на імпульсну функцію називається імпульсної перехідної функцією або функцією ваги, і позначається w (t). Між імпульсної перехідної функцією і перехідною функцією існує зв'язок:

 1.34

 1.35

Між функцією передачі і імпульсної перехідної функцією існує зв'язок:

 1.36

 1.37

Графічне зображення ваговій функції називають імпульсної перехідною характеристикою ланки або системи.

§1.16. Частотні характеристики.

Крім опису елементів і систем управління тимчасовими характеристиками і передавальними функціями в теорії автоматичного управління також використовують і частотні характеристики. Для отримання частотних характеристик на вхід елемента або системи подають гармонійно змінюється сигнал. Якщо на вхід подати сигнал у вигляді гармонійної функції то реакція в сталому режимі також буде гармонійної функції, у якій частота залишається рівною вхідний, а амплітуда і фаза в процесі передачі зміняться.

Зміна амплітуди і фази залежать як від властивостей ланки в системі, так і від частоти гармонійного вхідного впливу.

Ставлення амплітуди вихідного сигналу до амплітуди вхідного, в залежності від частоти називається амплітудно-частотної характеристикою (АЧХ) ланки або системи:

 1.38

Різниця фаз коливань, в залежності від частоти називають фазочастотной характеристикою (ФЧХ) ланки або системи:

 1.39

Частотні характеристики ланки або системи залежать тільки від їх властивостей, але не залежать від амплітуди і фази вхідних гармонійних впливів. Щоб простежити взаємозв'язок між частотними характеристиками або динамічними рівняннями представимо вхідні і вихідні впливу в наступному вигляді:

 1.40

Візьмемо похідні від розглянутих впливів:

Уявімо отримане вираз системи (1.40) в рівняння (1.15) і в результаті матимемо вираз виду:

 1.41

Взявши відношення вихідного сигналу до вхідного отримаємо вираз, що нагадує передавальну функцію, але записаної через частотні характеристики

 1.42

Вираз (1.42) називають частотної характеристикою лінійної САУ або що еквівалентно комплексної частотної функції. функція W (jw) виходить з передавальної функції шляхом підстановки в останню замість оператора Лапласа твір jw. функція W (jw), при кожному значенні w є комплексною величиною і тому може бути представлена в показовою формі як:

 1.43

де А (w) - Модуль функції W (jw);

j (w) - Аргумент частотної функції W (jw).

функцію W (jw) також прийнято називати частотної передавальної функцією або частотним передавальним коефіцієнтом.

годограф вектора W (jw), при зміні частоти w від 0 до + ? називають амплітудно-фазової характеристикою (АФХ або АФЧХ).

Частотні характеристики пов'язані один з одним наступними співвідношеннями:

 1.44

Частотні характеристики елементів або системи можна знаходити аналітичним шляхом або використовуючи експериментальні дані. Покажемо зовнішній вигляд частотних характеристик:

Операційна форма запису диференціального рівняння. Передавальна функція. «-- попередня | наступна --» Безінерційною ланка.
загрузка...
© om.net.ua