загрузка...
загрузка...
На головну

Принцип регулювання по обуренню

Дивіться також:
  1. I. 6. принципу верифікованості
  2. I. Проблеми мирного врегулювання після закінчення війни
  3. II. Роль держави різна в зв'язку зі специфікою методів і способів правового регулювання.
  4. III. перспективи врегулювання
  5. N Конструкція і принцип дії.
  6. N На взаємодії заряджених електродів, що знаходяться під напругою, заснований принцип роботи електростатичного ІМ.
  7. X. ОСОБЛИВОСТІ ІНФОРМАЦІЙНО-АНАЛІТИЧНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ЗАХОДІВ ДЕРЖАВНОГО РЕГУЛЮВАННЯ ПРИ ОРГАНІЗАЦІЇ санітарно-ПРОТИЕПІДЕМІЧНИХ ЗАХОДІВ У НАДЗВИЧАЙНИХ СИТУАЦІЯХ
  8. X. Принципи лікування
  9. А (додаткова). Кілька слів про методологію науки. Принцип актуалізму, «Бритва Оккама» та презумпції. Перевірка теорії: верифікації та фальсифікації.
  10. Адміністративні методи регулювання цін
  11. Адміністративні методи врегулювання і вирішення конфліктів
  12. Баланс азоту. ПРИНЦИПИ НОРМУВАННЯ БІЛКА В ХАРЧУВАННЯ. БІЛКОВА НЕДОСТАТОЧНОСТЬ

Як уже зазначалося основною причиною відхилення регульованої величини y (t) від задає впливу g (t) є обурення. Ідея цього принципу полягає в компенсації впливу обурення шляхом його вимірювання і управління об'єктом регулювання з допомогою виміряного значення. Для технічної реалізації до складу САР повинні входити пристрої дозволяють виміряти впливи і пристрої призначені для створення регулюючого впливу на об'єкт регулювання.

1 чутливі елементи ЧЕ (датчики).

2 Виконавчі елементи ІЕ.

Виконавчий елемент являє собою потужне механічне, електромеханічне, пневматична, гідравлічний пристрій. Між ЧЕ і ІЕ можуть бути включені проміжні елементи ПЕ, підсилювач потужності, перетворювачі сигналу, і ін.


 Загальна система САР реалізує принцип регулювання по обуренню представлена на наступному малюнку:

Така схема називається функціональною схемою САР. Вона показує, з яких елементів складається система регулювання і як вони з'єднані. Під елементом розуміється конструктивна відособлена частина САР виконує певні самостійні завдання. Така система забезпечує незалежність (інваріантність) регульованої величини y (t) від впливу, що обурює f1(T).

Основні недоліки САР працює по обуренню:

1. инвариантность забезпечується лише по відношенню до вимірюваного обуренню f1(T). Наявність неконтрольованих збурень f2(T) і т. Д. Fn(T) призводить до того що регульована величина помітно відрізняється від необхідного закону зміни g (t). тобто умова (1) не виконується.

2. инвариантность по відношенню до змінюваному обуренню забезпечується тільки за умови суворого відповідності параметрів регулятора і об'єкта регулювання U і x розрахункових значень.

Гідність таких систем - простота, але в силу зазначених недоліків системи цього типу для вирішення завдань регулювання самостійно не застосовуються. Зазвичай вони використовуються в якості складової частини більш складних комбінованих систем управління. У простіших, ніж САР, системах цей принцип набув значного поширення (наприклад, автоматична сигналізація).

3. Принцип регулювання по відхиленню

(по помилці).

Основне завдання регулювання полягає у виконанні рівності y (t) = g (t). Чим точніше воно виконується, тим вище якість Сара. Тому природно оцінювати САР помилкою x (t) = g (t) -y (t).

Для ідеальної САР ця помилка дорівнює нулю. Для реальних вона відмінна від нуля і ставитися питання про зменшення її до допустимих меж. Ідея лежить в основі цього принципу полягає в вимірі помилки x (t), в залежності від її знака і величини, формується регулюючий вплив, що забезпечує зміна y (t), в сторону (залежно від знака) зменшення помилки. Таким чином, забезпечується зміна регульованої величини y (t) по вимагали закону g (t). При x (t) більше нуля регулюючий вплив має збільшувати y (t), а при x (t) менше нуля зменшувати.

При x (t) = 0 y (t) = g (t), і регулюючий орган повинен залишатися нерухомим. У загальному випадку для визначення помилки x (t) використовуються три елементи:

ЗЕ - задає елемент.

ЧЕ - чутливий елемент.

СЕ - порівнює елемент.


 ЗЕ служить для формування g (t), чутливий елемент служить для вимірювання регульованої величини y (t). СЕ служить для виділення помилки x (t). Тоді функціональна схема САР, що реалізує принцип регулювання по помилки має наступний вигляд:

Проміжний елемент може включати в себе: перетворювач імпульсних сигналів в безперервні, підсилювач ,, коригуючий пристрій. У найпростішому випадку ІЕ, ПЕ можуть бути відсутніми. Основною перевагою САР працює за цим принципом перед розглянутої раніше, є здатність виконувати завдання регулювання при будь-якій кількості впливи, що обумовлюються f1(T), f2(T), ..., fn(T). Другою перевагою САР є відсутність жорстких вимог до стабільності характеристик регулятора і об'єкта регулювання.

Однак це не відноситься до ЧЕ, СЕ, ЗЕ так як вони приймають участі у виявленні помилки x (t). До стабільності цих характеристик висуваються жорсткі вимоги так як точності роботи САР обумовлюється точністю з якої вимірюється помилка.

Таким чином, САР працює помилково позбавлена основних недоліків САР працюють по обуренню. Тому принцип регулювання помилково є основним при побудові регулятора. Перевага цих систем обумовлено тим, що вони є системами зі зворотним зв'язком, причому зв'язок негативна, так як g (t) -y (t).

Однак ці системи також не позбавлені недоліків. Такі системи мають схильність до коливанням. Тому розрахунок їх значно складніше ніж розрахунок систем з регулюванням по обуренню.

Позбавлені вказаних недоліків для систем двох типів, комбіновані системи, в яких використовується обидва принципи регулювання.

Класифікація САР.

Різноманіття САР спричинило за собою розробку різних напрямків для їх класифікацій.

1 Класифікація за принципом дії. Згідно з цією класифікацією всі САР можуть бути розбиті на три групи:

1.1 системи працюють по розімкненому циклу (принцип регулювання по обуренню)

1.2 системи працюють по замкнутому циклу (система регулювання по відхиленню).

1.3 Комбіновані системи.

Так як в подальшому будуть розглянуті системи другої групи, то і напрямок класифікації наведемо лише для них.

Класифікація в залежності від необхідного закону регульованої величини за цим принципом все САР ділять:

1 системи стабілізації

2 системи програмного регулюванням

3 стежать

1 Системи стабілізації призначені для підтримки постійного значення регульованої величини y (t). У цих системах g (t) = g0= Const. Прикладами таких систем можуть бути стабілізатори напруги, обертання, частоти, і т. Д ..

2 Системи програмного регулювання призначені для зміни регульованої величини за відомим законом у функціях часу або будь-якої іншої величини. У таких системах задає значення являє собою відому функцію часу g (t) = g0(T) або будь-якої іншої величини g (z) = g0(Z).

g (t) - тимчасові програми

g (z) - параметричні програми.

Різні маніпулятори.

2Стежать призначені для зміни регульованої величини y (t) згідно із законом, який заздалегідь не відомий. У таких випадках задає вплив g (t) випадкова функція.

Класифікація за характером внутрідінаміческіх процесів.

Основним принципом поділу САР є наступне.

1 безперервність або дискретність динамічних процесів за часом.

2 лінійність або нелінійність рівнянь що описують динаміку процесів регулювання.

За першим принципом САР ділиться на системи безперервної дії, дискретного дії (імпульсні і цифрові), релейні системи. За другою ознакою автоматичні системи крім релейних діляться на лінійні і нелінійні. Релейні системи відносяться до категорії нелінійних.

       
   
 

 Система безперервної дії називається така система, в кожному з елементів якої безперервного зміни вхідний притягнуті x1, Відповідає безперервна зміна вихідний x2.

Система дискретного дії називається така система, в якої хоча б в одному елементі при безперервному зміні вхідної величини, вихідна має вигляд імпульсу.

Система релейної дії називається така система, в якій хоча б в одному елементі при безперервному зміні вхідної величини вихідна величина змінюється стрибком.


 Лінійної системою називається така система, динаміка всіх елементів якої описується лінійними рівняннями; алгебраїчними або диференціальними.

Основні завдання теорії автоматичного регулювання.

Як і будь-які технічні програми САР повинні відповідати цілому ряду вимог загальнотехнічного характеру: надійність, мінімальна вартість, задані габарити і вага. Але крім цих вимог до САР пред'являється і ряд інших пов'язаних зі специфікою таких систем. Найважливішою з них є вимога по точності регулювання. Воно регламентує помилку x (t). відомо що такі і всякі динамічні системи САР може працювати в двох режимах. Сталому (статичному), несталому (перехідним). Таким чином помилка x (t) = xy(T) + xn(T) де xy(T) і xn(T) помилки в сталому і перехідному режимі. Ця формула показує що, вимоги по точності САР можуть бути розбиті на вимоги по точності в сталому режимі, вимоги по точності в перехідному режимі (обмеження на xn).

Зовнішні впливи завжди викликає в САР деякий перехідний процес. Якщо цей процес загасає, то по його закінчення система переходить в сталий стан. У зв'язку з цим першим завданням теорії автоматичного регулювання (ТАР) є проблема точності роботи САР в сталому режимі. Але рішення однієї цієї задачі недостатньо. Для задовільної роботи САР необхідно щоб виникло відхилення y (t) від задає впливу g (t) з плином часу прагнуло до нуля. У зв'язку з цим виникає необхідність вирішення другого завдання ТАР - дослідження САР на стійкість.

Виконання вимог по стійкості гарантує лише факт загасання перехідних процесів з плином часу. Час загасання і форми перехідних процесів можуть бути будь-якими. Тому третьою завданням ТАР є обеспечивание необхідної якості роботи САР.

Між цими завданнями існує зв'язок. Їх не можна вирішувати окремо. У багатьох випадках заходи, спрямовані на підвищення точності роботи САР, в сталому режимі призводять до різкого погіршення швидкодії САР і навпаки.

Вирішення цих завдань лежить в основі методів аналізу і синтезу САР. Під аналізом розуміється дослідження готових САР, з метою визначення її властивостей і шляхів їх поліпшення. Під синтезом розуміється проектування САР, що задовольняє поставленим вимогам.

Математичний опис систем автоматичного управління і регулювання.

Елементи і динамічні ланки САУ.

Відомо, що будь-яка система АР або САУ може розглядатися у вигляді сукупностей елементів, відповідним чином пов'язаних між собою.

Такий підхід дозволяє ввести поняття функціональної схеми САР, що приносить користь при розгляді принципів дії автоматичних систем.

Для математичного опису роботи автоматичної системи зручно розбивати їх не на елементи, а на динамічні ланки або просто ланки.

Динамічним ланкою називається частина системи управління, описувана диференційно або іншим рівнянням певного виду. Ланка на відміну від елемента, не повинно обов'язково бути закінченим конструктивно. Ланка може бути окремою частиною елемента автоматично або об'єкта регулювання, в окремих випадках ланки можуть взагалі не мати фізичного сенсу.

Щоб охарактеризувати стан ланки вибирають одну координату на вході і одну координату на виході. Називають їх відповідно вхідний x1(T) і вихідний x2(T) величинами ланки. Умовне позначення динамічного ланки наступне:

залежність x2(x1) В сталому режимі називається статичною характеристикою ланки. Вона звичайно зображується графічно у площині координат x1 і x2 і виходить експериментальним або розрахунковим шляхом.

У разі якщо x2 залежить також і від f, то виходить сімейство статичних характеристик. Ці характеристики повністю описують поведінку ланки в сталому режимі. Для вивчення поведінки ланки в перехідному режимі, виникає необхідність знаходження рішення диференціального рівняння описує роботу ланки. Для ланок безперервної дії в загальному, вигляді таке рівняння наступне:

F (x2(N), x2(N-1), ..., X2, x2, x1(M), x1(M-1), ..., X1, x1, f(G), f(G-1), .., F, f) = 0 (1)

Тут n, m, g - натуральні числа, що визначають найвищий порядок похідної від x2, x1, f.

F - функції від n + m + g + 3 аргумент.

На практиці зазвичай n> m; n> g тому число n називається порядком диференціального рівняння при n = 1 диференціальне рівняння 1 має вигляд:

F (x2, x2, x1, F) = 0 (2)

при n = 2

F (x2, x2, x2, x1, X, f, f,) = 0 (3)

Невідомою в (1) є вихідна величина x2. Для вирішення рівняння (1) повинні бути задані величини x1 і fn як функції часу і початкові умови.

Поклавши в (1) x2= Const, x1= Const, f = const можна отримати статичну характеристику ланки.

F (0, 0, ..., 0, x2, 00, ..., 0, x1, 00, ..., 0, f) = 0

змінюючи x1, x2 можна отримати сімейство характеристик.

Лінеаризація нелінійних рівнянь динамічних ланок.

У разі коли (1) являє собою нелінійну функцію своїх аргументів динаміка роботи ланка а описується нелінійним диференціальним рівнянням, а саме ланка називається нелінійним ланкою.

Дослідження нелінійних диференціальних рівнянь істотно складніше ніж лінійних, тому завжди коли це можливо прагнути линеаризовать нелінійне диференціальне рівняння, тобто, знайти таке лінійне диференціальне рівняння рішення якого досить близько до нелінійного. Так як більшість елементів САР є нелінійними, то завдання лінеаризації має широке поширення.

Найпростішою спосіб лінеаризації заснований на простому розкладанні функції в ряд Тейлора, з подальшим відкиданням нелінійних членів розкладання.

Розглянемо цей спосіб стосовно до рівняння (2), має I порядок. Все викладене буде справедливо і для рівнянь вищого порядку.

Лінеаризація проводитися щодо деякого заздалегідь обраного режиму роботи ланки. Найчастіше вибирається сталий режим. Він характеризується постійністю всіх координат. Для (2) рівняння вихідного режиму можна представити таким чином: x1 = x10, x2 = x20, f = f0, x2 = 0

де x10, x20, f0 - Постійні величини, пов'язані між собою співвідношенням: F (0, x20, x0, f0) = 0

Вибравши вихідний режим, далі, для лінеаризації надходять у такий спосіб.

1 Представляють всі вхідні в розглянуті координати у вигляді:

x1= x01+ ?x1, x2= x02+ ?x2, F = f0+ ?f, x2= ?x2. (4)

В системі (4) ?x1, ?x2, ?f, ?x2 - Відхилення відповідних координат від їх значень, прийнятих за вихідні при лінеаризації.

Співвідношення (4) дозволяє замість повних значень координат x1, x2, F, x2, Оперувати їх відхиленнями (перетвореннями) ?x1, ?x2, ?f, ?x2.

2 Ліву частину рівняння (2) розкладають в ряд Тейлора щодо точки з координатами (0, x02, x01, F) всоответствии початкового режиму. В результаті (2) переписується у вигляді:

F (0, x02, x01, f0) + +Q (?x2, ?x2, ?x1, ?f) = 0

тут 0 - Приватні похідні від функції F (x2, x2, x1, F) по

відповідної змінної, в якій після визначення підставлені значення x1= x0; x2= x20; f = f0; x2= 0.

У підсумку виходять деякі числа. Символом Q - позначимо залишковий член розкладання містить другу або вищі ступені розкладання (?x1, ?x2, ?x2, ?f) їх твір помножене на відповідні проізводние.m

3 Відхиленням ?x2, ?x2, ?x1, ?f вважають малими і на цій підставі нехтують залишковим членом Q (?x2, ?x2, ?x1, ?f) ?0. З огляду на F (0, x20, x10, f0) = 0 в рівняння (5) можна отримати вираз:

= 0

Це рівняння є лінійне - диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами, воно являє собою результат лінеаризації нелінійного рівняння (2) щодо вихідного режиму (x1= x10; x2= x20; f = f0; x2= 0). В основі цього підходу лежить припущення про малість відхилення всіх коефіцієнтів від вихідних в цьому випадку допустимо розкладання функції F в ряд Тейлора в околиці точки (0; x20; x10; f0).

Якщо таке розкладання неможливо, наприклад F недеференціруема по координаті, то розглянутий метод лінеаризації непридатний, ланка є суттєво нелінійним. Запис лінійного диференціального рівняння у вигляді (6), є досить громіздкою. В автоматиці зазвичай опускається символ збільшення «D». Крім того, прийнято вихідну величину x2 і її похідні записувати в лівій частині, а всі інші члени переносити вправо. В результаті вираз (6) можна представити так:

З метою скорочення викладок при запису диференціальних рівнянь, використовується умовне позначення похідних і інтегралів:

-символ диференціювання

З використанням цього символу диференціальне рівняння першого порядку має вигляд або , В загальному випадку для диференціального рівняння довільного порядку можна записати:

 (7)

Зокрема для рівняння другого порядку поліноми c (p), b (p) і r (p) матимуть такий вигляд:

, , , де

, Для рівняння довільного порядку символічно поліноми будуть мати такий вигляд:

,

,

,

У ТАУ виявляється зручним розділити всі числа диференціального рівняння на коефіцієнт при . У разі його відсутності на ненульовий коефіцієнт при наймолодшій похідною від . Так для системи першого порядку поділивши на отримаємо: (*)

Т - називається постійної часу ланки і має розмірність «секунда». величина и , Це коефіцієнти передачі ланки по вхідний величиною і за збуренням відповідно.

Рівняння (*) називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку (ЛДУ-1), в стандартній формі запису. Аналогічним чином до стандартної форми запису наводяться і рівняння вищих порядків. Наприклад для диференціального рівняння другого порядку (ЛДУ-2) стандартна форма запису має наступний вигляд:

,

- Постійні часу ланки,

- Коефіцієнти передачі ланки.

Передавальні функції лінійних ланок.

Рівняння (7) вичерпно характеризує динамічні властивості ланки, т. К. Дозволяє знайти реакцію ланки на будь-які вхідні сигнали і обурення . Однак існують більш зручні і наочні способи опису динамічних властивостей лінійних об'єктів, серед них можна відрізнити: передавальні функції, тимчасові і частотні характеристики.

Передавальної функцією ланки по якому або впливу називається відношення перетворення Лапласа вхідний величини ланки, до перетворення Лапласа розглянутого впливу.

При цьому всі інші дії покладаються рівними нулю, приймаються нульовими також початкові умови.

Для ланки виду

можна ввести передавальну функцію по вхідний величиною (1)

і передавальну функцію по обуренню (2). тут - Комплексна змінна, це перетворення Лапласа (зображення) відповідних функцій, що визначаються наступним чином:

Використання формул (1) і (2) для обчислення передавальних функцій не доцільно. Вони можуть бути легко обчислені, якщо відомо диференціальне рівняння ланки виду (7).

Перетворимо це рівняння по Лапласа, т. Е. Перейдемо до зображення.

Згідно теореми про лінійність рівняння (7) в розгорнутому вигляді може бути записано в наступному вигляді:

За теорією про зображення похідних: , маємо

або (3), де . Вирішивши рівняння (3) відносно отримаємо . поклавши знайдемо передавальну функцію ланки по вхідний величиною (4). при отримаємо передавальну функцію по впливі, що обурює: (5).

Виходячи з перерахованого вище правило для визначення передавальної функції ланки можна записати в такий спосіб:

1) скласти диференціальне рівняння в символічній формі

2) розділити формально символічний многочлен, що стоїть в правій частині перед цікавлять нас впливом на символічний многочлен в лівій частині

3) в отриманому результаті символ диференціювання замінити на комплексну змінну

приклад:

Для ланки першого порядку, описаного символічним рівнянням , Передавальна функція ланки по вхідний величиною . Зіставивши рівняння (4) і (5) видно, що передавальні функції будь-якого конкретного ланки має один і той же знаменник.

Многочлен, що стоїть в знаменнику називається характеристичним поліномом цієї ланки, а рівняння виду характеристичним рівнянням ланки. Коріння многочлена стоїть в чисельнику передавальної функції, називаються нулями цієї передавальної функції.

Коріння многочлена, що стоїть в знаменнику передавальної функції, називаються полюсами передавальної функції.

Графічне зображення ланки.

Структурні схеми.


 Запишемо зображення вихідної величини в наступному вигляді (*). Уявімо у вигляді , , . Останні формули зручно зображувати графічно наступним чином

Тут вихідна величина являє собою твір вхідної величини на передавальну функцію, зображену в прямокутнику.

Домовимося результат підсумовування зображати у вигляді перекресленого круга , Тоді можна записати

Цей же символ використовується для позначення різниці. В цьому випадку сектор, відповідний віднімається закреслюється

Після введених вище графічних позначень рівняння (*) можна представити у вигляді:

Цей малюнок є структурну схему динамічного ланки.

Структурною схемою елемента автоматики або всієї САУ називається схема, що показує, з яких ланок складається об'єкт і як ці ланки з'єднані між собою. Часто на структурних схемах записуються зображення функції, а самі функції (). Це допустимо, але не слід забувати що, співвідношення, що лежать в основі побудови структурних схем, справедливі тільки для зображень (т. Е. Для функцій від ).

На підставі вище сказаного узагальнена структурна схема САУ може бути представлена наступним чином:


- Передавальна функція датчика

- Передавальна функція регулятора

- Передавальна функція виконавчого пристрою

- Передавальна функція об'єкта регулювання

- Передавальна функція об'єкта регулювання по обуренню

Передавальна функція основних з'єднань лінійних ланок.

САУ - є властивість ланок по різному з'єднаних між собою. Існують три типи з'єднань:

- послідовне

- паралельне

- З'єднання зі зворотним зв'язком (зустрічно-паралельне)

послідовним називається таке з'єднання двох або більше ланок, при якому вихідна величина попереднього ланки є вхідною величиною наступного.

графічно можна представити таким чином:

Для такого з'єднання можна записати:

загальна передавальна функція з'єднання буде дорівнює:

; (1)

З формули (1) випливає що останнім з'єднання ланок можна замінити еквівалентною структурною схемою такого вигляду:

Паралельне з'єднання називаатся таке з'єднання 2 або більше ланок, при якому вхідна величина ланок одна і теж, а вихідні величини складаються графічно:

Для кожного з ланок можна записати:

; (2)

Еквівалентна структурна схема паралельного з'єднання наступна:

З'єднання зі зворотним зв'язком - називається поєднання двох ланок, при якому вихідна величина однієї ланки подається назад на вхід цієї ланки через інше.

Графічно зображується у вигляді:

Ланка стоїть в прямій ланцюга називається ланкою обхоплюю зворотним зв'язком. Ланка, що стоїть в колі зворотного зв'язку (c ), Називається ланкою зворотного зв'язку

. Може складатися з вхідною величиною . У цьому випадку має місце позитивний зворотний зв'язок

віднімається, то негативний зворотний зв'язок.

Знайдемо зображення зв'язує зображення вихідної величиниіз зображенням вхідної величини. ;

після підставляння отримаємо:

вирішимо останнє рівняння щодо в результаті отримаємо:

; (3)

для з'єднання з негативною зв'язком маємо остаточний результат:

еквівалентна структурна сема з'єднання зі зворотним зв'язком має вигляд: (ри

Важливим випадком є одинична зворотний зв'язок

Для такого з'єднання передавальна функція наступна:

Тимчасові характеристики лінійних ланок

Тимчасові характеристики ланки називається закон зміни вихідної величини , При зміні вхідного за певним законом за умови, що до додатка впливу ланка знаходилося в спокої.

Найчастіше при отриманні тимчасових характеристик, що вхідний вплив змінюється за законом одиничної ступінчастої функції.

або за законом ?-функції.

для дельта функції характерно, що площа:

тимчасові характеристики ланки при цих законах змін зовнішніх впливів отримали назву перехідною функцією ланки і функцією ваги ланки.

Перехідний функцією ланки h (t) називається реакція ланки на вхідний сигнал X1(T) = 1 (t), за умови, що до додатка вхідного впливу ланка знаходилося в спокої.
 
 

Перехідна функція може бути визначена експериментально або обчислено теоретично. Якщо робота ланки описується диференціальним рівнянням такого вигляду:

то для теоретичного визначення h (t) необхідно знайти рішення рівняння у вигляді:за умови, що: f (t) = 0; h (0) = h "(0) = ... = 0

Скориставшись перетворенням Лапласа отримаємо зображення перехідної функції т. к. зображення .

З останньої формули випливає, що перехідна функція буде зворотним перетворенням Лапласа від зображення

Таким чином функція являє собою зворотне перетворення Лапласа від передавальної функції поділеній на S.

У загальному випадку передавальна функція визначається формулою

зображення перехідної функції буде

результати обчислення передавальної функції зазвичай представляється у вигляді графіка в координатах t, h (t). початкове при і кінцеве при значення перехідної функції можна оцінити, чи не обчислюючи саму функцію h (t), По теоремі про початковому значенні оригіналу , Підставляючи останній вираз, в вираз отримаємо

по теоремі про кінцевий значенні оригіналу маємо наступне

тоді маємо

Функцією ваги або імпульсної перехідної функцією ланки називається його реакція на вхідний сигнал за умови, що до додатка вхідного впливу ланка знаходилося в спокої.


функція так само може бути обчислена експериментально або теоретично. Для експериментального визначення функції ваги знімаю процес зміни вихідної величини ланки при вхідній дії у вигляді реального імпульсу довільної форми з одиничною площею. Для теоретичного визначення функції ваги необхідно вирішити диференціальне рівняння такого вигляду:

при нульових початкових умовах: , Перетворивши останнє рівняння по Лапласа, отримаємо:;.

Звідси функція ваги

Таким чином, функція ваги є зворотне перетворення Лапласа від передавальної функції ланки. Початкове і кінцеве значення так само можна визначити, не знаючи виду самої функції по відповідних функціях:;.

Функція ваги так само будується зазвичай в координатах t, (T).

Знайдемо зв'язок між перехідною функцією і функцією ваги. По теоремі про зображення похідної можна записати

Перехід до оригіналів дає наступний результат:;.

Функція ваги є похідною від перехідної функції. У зв'язку з наявністю однозначного зв'язку між и , В розрахунках зазвичай використовується одна з цих характеристик. Найчастіше перехідна функція, так як експериментально визначити її простіше. Розглянуті вище характеристики повністю визначають динамічні властивості ланки, так само як диференціальні рівняння і передавальні функції. Зокрема за допомогою них можна знайти реакцію ланки на вхідний вплив довільної форми.

- Інтеграл Дюамеля.

Переваги тимчасових характеристик:

- Наочність і можливість експериментального визначення.

недоліки:

- Трудомісткість обчислення характеристик для диференціальних рівнянь високого порядку.

Частотні характеристики лінійних ланок.

У реальних системах часто вхідний сигнал змінюється за гармонійним законом, із заданою частотою і амплітудою. При цьому ставиться завдання знаходження параметрів коливань на виході при відомих на вході. Вирішення цього завдання за допомогою тимчасових характеристик представляє певні труднощі. Частотний же метод дозволяє значно простіше отримати реакцію ланки або системи на будь-який періодичний сигнал. Припустимо, що обурює вплив відсутній (), А на вхід ланки з передавальною функцією надходить сигнал, що змінюється за гармонійним законом:, де - Кругова частота.

На виході лінійного ланки після закінчення перехідного процесу так само буде періодичний сигнал тієї ж частоти, але з іншого амплітудою і фазою:;(1);(2).

Формули (1) і (2) показують, що для визначення реакції ланки на гармонійне вплив досить знати комплексну функцію . Вона виходить заміною в передавальної функції комплексної змінної на , причому .

функція називається частотної передавальної функцією і в загальному вигляді може бути представлена так: (3)

Формула (3) може бути представлена в декількох видах:

1) , де и

2) , де и

функція називається амплітудно-частотної характеристикою (АЧХ) системи (ланки). функція називається фазо-частотної характеристикою (ФЧХ). функції и називаються речової (дійсної) і уявної частотної характеристикою системи (ланки).

У координатах будується амплітудно-фазова характеристика (АФК). Для цього, для кожної фіксованої частоти , на осі абсцис відкладаємо , А по осі ординат . Точки з'єднують плавною лінією. Отримана крива називається годографом.

Для обчислення значень представимо (3) у вигляді:

,

де - Дійсні частини чисельника і знаменника, - Відповідно уявні частини.

Тоді модуль буде визначатися:

, А аргумент:

Для визначення U (w) і V (w) помножимо передавальну функцію на комплексно поєднане знаменника число.

;;;

.

При практичних розрахунках краще користуватися виразами для A (w) і Y (w), т. К. Вони простіше і можуть бути отримані експериментально.

Y (w) виходить як різниця фаз між вихідним і вхідним сигналами.

 Логарифмічні частотні характеристики ланок.

Частотні методи дослідження САР значно спростяться, якщо для побудови графіків частотних характеристик використовувати логарифмічні шкали. Характеристики A (w) і Y (w), побудовані в логарифмічному масштабі називаються відповідно логарифмічними амплітудними характеристиками (ЛАХ) або (ЛАЧХ) і логарифмічною фазовою характеристикою (ЛФХ) або (ЛФЧХ).

Логарифмічні координати при побудові Лах по осі частот - декада, по осі ординат - децибел. Посиленням в децибелах називається величина:

Зміна частоти в 10 разів відповідає 1 декаді. Зміна величини А (посилення) в 10 разів відповідає 20 децибелам.

При побудові ЛФХ логарифмічна шкала застосовується тільки по осі частот. По осі ординат використовують натуральний масштаб (градуси або радіани). Для практичних розрахунків зручно при зображенні Лах і ЛФХ використовувати один і той же графік із загальною віссю частот. За ординате точку -180 градусів ЛФХ поєднують з точкою 0 децибел Лах. L (w), y (w)


Збільшення величини А в 10 разів при збільшенні частоти в 10 разів відповідає наростання Лах на величину 20 (децибел / декад). Такому зміни буде відповідати всі прямі паралельні прямій I. Зменшення величини А в 10 разів при збільшенні частоти в 10 разів відповідає зміна Лах на -20 (децибел / декад).

Введення логарифмічних масштабів дозволяє спростити побудова результуючих частотних характеристик послідовно з'єднаних ланок.

Для такого з'єднання частотна передаточна функція:

;т. к. , а , то, або(1),

Остаточно отримаємо:

Прологаріфміруем (1)и(2):(3)

(2) и (4) показують, що результуючі частотні характеристики не можна будувати шляхом підсумовування характеристик окремих ланок. Застосування логарифмічних шкал істотно зменшує крутизну Лах і дозволяє досліджувати поведінку ланок як на низьких, так і на високих частотах. При побудові Лах в більшості випадків немає необхідності проводити будь-які розрахунки. Для демонстрації простоти побудови ЛАХ розглянемо ряд важливих прикладів:

Приклад 1: Існує ланка має АЧХ виду: , Тоді Лах . Лах такого виду являє собою пряму з нахилом 1 (дець / дек), т. Е. Паралельно осі абсцис.

Приклад 2: ;.Такий Лах відповідає пряма, що проходить через точку з координатами w = 1;і має нахил -20 (дець / дек).

Приклад3: ;

Цією Лах відповідає пряма, що проходить через точку з координатами з нахилом -40 (дб / дек). якщо , То їй буде відповідати пряма, що проходить через точку w = 1; c нахилом -20 * n (дб / дек).

Приклад4: ;

Цією Лах відповідає пряма, що проходить через точку з координатами w = 1;c нахилом +20 (дб / дек).

Розглянуті переваги в побудові зробили метод побудови логарифмічних частотних характеристик одним з основних методів аналізу і синтезу ліній САУ.

 Типові динамічні ланки та їх характеристики.

Типовими динамічними ланками називаються ланки, описувані диференціальним рівнянням вище 2-го порядку. Всі типові ланки можна розділити на 3 групи: позиційні, що інтегрують, що диференціюють. Тип динамічного ланки, відповідному реальному пристрою залежить від припущень і вибору вхідних і вихлодних величин цього пристрою. Одне і теж пристрій в залежності від ступеня його ідеалізації може бути віднесено до різних типів ланок.

Позиційні ланки.

Позиційними ланками називають такі для яких в сталому режимі характерна лінійна залежність між вхідний і вихідний величинами. Ці ланки в загальному вигляді описуються наступним рівнянням:

де с (p) - многочлен, не вище 2-го порядку, k - коефіцієнт передачі ланки.

· 1) Пропорційне (безінерційні) ланка.

Це ланка, яке як в сталому так і в перехідному режимі описується рівнянням наступного типу:

Це ланка найпростіше.

· 2) Апериодическое ланка 1-го порядку.

Описується диференціальним рівнянням:

де Т-постійна часу ланки; k - коефіцієнт передачі.

Прикладом такого ланки може служити R-C ланцюг. Передавальна функція:

Тимчасові характеристики ланки знайдемо використовуючи зворотні перетворення Лапласса.

Передавальна функція:

Функція ваги:

Знайдемо частотні характеристики використовуючи частотну передавальну функцію.

, Звідси АЧХ ланки:.

ФЧХ:

АЧХ:

Визначимо вид ЛАХ для низьких і високих частот.

Для w << 1 / Т:

Для w >> 1 / Т:

дає нахил ЛАХ "0" децибел на декаду

дає нахил "-20" децибел на декаду

Характеристики и називаються низькочастотної і високочастотної асимптотами Лах. При w = 1 / Т

=частота, на якій ці характеристики рівні (сполучаються), називаються сопрягающей частотою.

Ламана лінія виду:

називається асимптотичної ЛАХ ланки. Якщо побудувати реальну Лах, то вона буде практично збігатися з асимптотической всюди крім області сопрягающей частоти w = 1 / T. Тут відмінність у цих характеристик (реальної і асимптотической) досягає не більше 3 децибел. Тому в більшості випадків буде обмежуватися побудовою тільки асимптотических Лах. Зобразимо характеристики аперіодичного ланки 1-го порядку у вигляді графіків:

3)Коливальний ланка.

Описується диференціальним рівнянням такого вигляду:

Передавальна функція матиме вигляд:

Прикладом таких ланок може служити R-L-C контур; гіроскоп в кардановом підвісі. x коефіцієнт відносного демпфірування, 0 <x <1 (загасання).

При таких значеннях x корені характеристичного рівняння мають вигляд:

 - Комплексно зв'язані коріння.

Ланка з таким коренем називається коливальним. Матеріальна частина коренів характеризує загасання, мнімая- частоту коливань. Позначимо речову частину кореня , А уявну: , тоді

Тимчасові характеристики коливального ланки також будемо отримувати використовуючи зворотні перетворення Лапласса.

Частотні характеристики ланки знайдемо використовуючи частотну передавальну функцію:

АЧХ:

ФЧХ:

Лах: (*)

Побудуємо асимптотичне Лах нахил 0 децибел на декаду.

нахил -40дБ / дк. Однак, для коливального ланки реальна Лах буде істотно відрізнятися від асимптотической в районі сопрягающей частоти.

Проаналізувавши знаменник виразу (*) можна відзначити, що вираз в квадратних дужках прагне до 0 в області w = 1 / T, а отже Лах на цих частотах буде зростати. І зростання її буде тим більше, чим менше значення коефіцієнта x .

Побудуємо графіки тимчасових характеристик коливального ланки:

До цього він розглядався класу належить так само апериодическое ланка другого порядку, яке виходить шляхом послідовного з'єднання 2-х апериодических ланок 1-го порядку і консервативне ланка, що отримується з коливального при x= 0.

Інтегрують ланки.

Інтегруючими ланками називаються такі ланки, поведінка яких описується диференціальним рівнянням виду:

тут c (p) -поліном, не вище, другого ступеня, що задовольняє умові c (0) = 1.

В інтегруючих ланках в сталому режимі має місце лінійна залежність між вхідною величиною і похідною вихідної величини.

· 1) Ідеальна інтегруюча ланка:

Приклад: ідеальний конденсатор. Передавальна функція такого ланки:

реакція ланки на вхідні дії.

Частотні характеристики:

, тоді

АЧХ:

ФЧХ:

Лах:

Побудуємо ці характеристики у вигляді графіків:

До цього класу належать інтегрують ланки з уповільненням і ізодромного ланка.

Інтегрує з уповільненням є послідовне з'єднання інтегруючого і аперіодичної ланки 1-го порядку.

Ізодромного ланка - паралельне з'єднання ідеального інтегруючого і пропорційного ланок.

диференціюючими називаються такі ланки, у яких в сталому режимі вихідна величина пропорційна похідною від вхідних.

1)Ідеальне дифференцирующее ланка описується диференціальним рівнянням виду:

2)Диференціальне ланка з уповільненням:

(Tp + 1)

Тимчасові характеристики:

Функція Веса:

Частотні характеристики:

частотно-передавальна функція отримана шляхом заміни комплексної змінної S на jw:

АЧХ:

Основні поняття і визначення. «-- попередня | наступна --» Цей критерій відноситься до алгебраїчних критеріям стійкості. Він накладає обмеження на коефіцієнти характеристичного рівняння (3) (предведущій параграф).
загрузка...
© om.net.ua