загрузка...
загрузка...
На головну

Поняття спектрального розкладання сигналу

Дивіться також:
  1. I. Поняття і види міграції населення
  2. I. Поняття про мету виховання.
  3. I. Поняття економічної системи.
  4. I. Поняття мовної ситуації.
  5. II. Поняття цивільного права, права народів, природного права
  6. N Форма вхідного періодичного сигналу в більшості реальних випадків значення не має.
  7. А. Поняття і форми укладення цивільного шлюбу
  8. А. Поняття лісових та торф'яних пожеж.
  9. Акти застосування норм права: поняття, ознаки, види.
  10. Акти тлумачення норма права: поняття та види.
  11. Арій, його вчення. I Вселенський собор. Ухвалення Символу віри. Поняття единосущия Сина Отця.
  12. Асоціації в розчинах електролітів. Поняття про теорію сильних електролітів. активність

МЕТОДИ СПЕКТРАЛЬНОГО РОЗКЛАДАННЯ СИГНАЛОВ

Для теорії, а також для техніки формування і обробки сигналів важливе значення має розкладання сигналу, заданого у вигляді функції, за різними ортогональним системам функцій.

Як було вперше показано французьким фізиком Фур'є, будь-яку довільну функцію u (x) навіть володіє кінцевим числом розривів можна представити у вигляді нескінченної суми синусних та косинусних членів

 (1.1)

Розділ математики, що встановлює співвідношення між функцією u (x) (або її відліками) і коефіцієнтами и , Стали називати гармонійним аналізом, внаслідок функції з синусно і косинусними членами цієї суми, названої згодом поруч Фур'є [14].

Будь-яка система ортогональних функцій може бути застосована для розкладання в ряди, які відповідають рядам Фур'є. Наприклад, в теорії зв'язку часто використовується розкладання в ряди за функціями Уолша, Лагерра, Бесселя. Для багатьох систем функцій є також перетворення, подібне перетворення Фур'є.

Тому для представлення сигналів і характеристик ліній і ланцюгів замість приватної системи синусоїдальних і косинусоидальной функцій цілком застосовна узагальнена повна система ортогональних функцій.

Спектральне розкладання в цьому випадку представляє собою суму узагальненого ряду Фур'є:

 (1.2)

де коефіцієнти ряду визначаються за формулами:

 (1.3)

а функції являють собою систему ортогональних функцій на відрізку [a, b].

Узагальнений ряд Фур'є має наступну важливу властивість: при заданій системі функцій і при фіксованому числі доданків ряду (1.2) він забезпечує найкращу апроксимацію (в сенсі мінімуму середньоквадратичної помилки) даної функції .

Вибір найбільш ортогональної системи функцій залежить від мети, переслідуваної при розкладанні складної функції в ряд. Серед різноманітних завдань, що вимагають розкладання складного сигналу, можна виділити насамперед два важливих напрямки:

1) точне розкладання на найпростіші ортогональні функції;

2) апроксимація сигналів, процесів і характеристик, коли потрібно звести до мінімуму число членів ряду (при заданій допустимої похибки).

Під час першого поставлення завдання найбільшого поширення набула ортогональна система основних тригонометричних функція - синусів і косинусів. Особлива роль цих функцій пояснюється ряжом причин: 1) гармонійнеколивання є найпростішою функцією, визначеною при всіх значеннях x, і не піддається подальшому розкладанню в спектр; 2) гармонійнеколивання є єдиною функцією часу, що зберігає свою форму при проходженні коливання через будь-яку лінійну систему (з постійними параметрами). Змінюється лише амплітуда і фаза коливання. Далі, розкладання складного сигналу по синусах і косинусам дозволяє використовувати символічний метод, розроблений для аналізу передачі гармонійних коливань через лінійні ланцюги.

За цим, а також і інших причин, гармонійний аналіз набув широкого поширення у всіх галузях сучасної науки і техніки.

При другій постановці завдання - «зручною» апроксимації функцій - застосовуються різноманітні ортогональні системи функцій, наприклад:

1) поліноми Чебишева, Ерміта, Лагерра, Лежандра та інші;

2) функції Уолша, Хаара і інші;

3) функції, складові базис перетворення Карунена-Лоева.

Кожен вид ортогональних систем має свою область застосування. Залежно від класу сигналу ортогональні системи спеціальних функцій можуть бути підібрані таким чином, щоб необхідна точність уявлення забезпечувалася при мінімумі членів ряду. При виборі системи функцій також враховується математична складність виконання перетворень, можливість досить простий генерації функцій, що входять в базис, можливість побудови фільтруючих пристроїв в даному ортогональному базисі і безліч інших чинників.

У наступних пунктах розглянемо докладніше розкладання по позначених трьом класам ортогональних систем.

Енергія сигналу представленого у формі узагальненого ряду Фур'є «-- попередня | наступна --» Розкладання сигналу по ортогональних поліномами
загрузка...
© om.net.ua