загрузка...
загрузка...
На головну

об'єкт регулювання

Висновок диференціального рівняння об'єкта.

Як об'єкт регулювання розглянемо головний судновий дизель з прямою передачею потужності на гребний гвинт регульованого кроку. Регульована величина - частота обертання гребного валу, зміна якої може відбуватися внаслідок зміни моменту рушійних сил Мд, Що розвивається двигуном, і моменту сил опору Мс з боку гвинта. Вихідним рівнянням, що відображає фізичні процеси в даному об'єкті, є рівняння несталого обертального руху

 , (3.1)

де w - частота обертання валу,I-момент інерції рухомих елементів системи, приведений до валу, t - час.

Розглянемо сталий режим, що характеризується рівністю моменту рушійних сил і моменту сил опору. Тут і надалі нульовими індексами будемо супроводжувати величини, що відносяться до вихідного сталому режиму.

М д 0 = М з 0 ,

отже, w0 = Const. На рис.3.1 показані швидкісні характеристики: одна з часткових М д і одна з гвинтових М с. Точка їх перетину відповідає сталому режиму (точка А).

A
Mд , Mс
?0
?

Мал. 3.1. Швидкісні характеристики головного

суднового двигуна

Перейдемо до несталий режим. Він виникає при небаланси між підведенням і відводом енергії, тобто коли Мд ? Мс і, отже, частота обертання змінюється в часі: w = var.

Змінні частоту обертання і моменти можна представити у вигляді сум їх значень на сталому режимі і збільшень:

М д = М д 0 + DМ д; ; М с = М з 0 + DМ с ; w = w 0 + Dw.

Момент рушійних сил є функцією частоти обертання і положення рейки паливних насосів S, а момент сил опору - функцією частоти обертання, відносної ходи гребного гвинта l і його крокової відносини h = H / D:

М д = F (w, S); М с = F (w, l, h). (3.2)

Точні аналітичні вирази для цих функцій не існують. Тому прагнуть використовувати наближені математичні описи. Для подібних цілей широко застосовується метод малих відхилень, істота якого полягає в наступному.

За самій задачі автоматичного регулювання відхилення регульованої величини від заданого її значення повинні бути малі. Оскільки аналізовані функції можуть бути представлені у вигляді рядів Тейлора

Mд= Mдo+, (3.3)

можна знехтувати старшими членами рядів, що містять збільшення змінних в ступенях вище першої, і тоді ми приходимо до лінійного математичного опису:

, (3.4)

. (3.5)

У цих формулах приватні похідні являють собою тангенси кутів нахилу дотичних до відповідних характеристик в точці сталого режиму, і вони можуть бути визначені відповідною обробкою швидкісних характеристик конкретного двигуна.

Приймемо також до уваги, що, оскільки w 0 = Const.,

(3.6)

Підставами (3.4), (3.5) і (3.6) в рівняння (3.1). Після перенесення всіх членів, що містять Dw, в ліву частину одержуваного рівняння воно набуде вигляду

. (3.7)

Розділивши на вираз в квадратних дужках і прийнявши позначення

(3.8)

отримаємо диференціальне рівняння об'єкта регулювання в збільшеннях і в розмірної формі запису:

. (3.9)

В автоматиці часто застосовується безрозмірна (відносна) форма запису, при якій зміни змінних розглядаються по відношенню до значень цих змінних на сталому режимі. Зазвичай це вихідний сталий режим. ввівши позначення

 (3.10)

де, крім уже відомих величин, S0,l0,h0 - Значення положення рейки, відносної ходи і крокової відносини на початковому сталому режимі, і виконавши нижченаведені перетворення, отримаємо диференціальне рівняння об'єкта регулювання в збільшеннях і в безрозмірною формі запису:

. (3.11)

Коефіцієнти цього рівняння kx, kz1 і kz2 називаються відповідно коефіцієнтом посилення (іноді коефіцієнтом передачі) об'єкта по регулюючому впливу і коеффіціентaмі посилення по збурень. Це величини безрозмірні. Коефіцієнт Т має розмірність одиниць часу і називається постійної часу об'єкта. Для невеликих відхилень від усталеного значення частоти обертання (плюс-мінус 5%, наприклад) ці коефіцієнти можна з достатнім ступенем точності вважати постійними. Для режимів же, далеко віддалених один від іншого, їх слід визначати кожен раз заново. Зауважимо, що при роботі двигуна на гвинт фіксованого кроку обурення z2 Відсутнє.

Рішення рівняння об'єкта регулювання.

Метою рішення є визначення закону зміни регульованої величини y (t) при відомих x (t), z1(T), z2(T). Фізично це еквівалентно знаходженню процесу зміни частоти обертання валу в часі, якщо відомі процеси зміни в часі положення рейки паливних насосів, відносної ходи гвинта і крокової відносини.

Ми маємо справу з лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням першого порядку. Для всіх систем, описуються лінійними диференціальними рівняннями, справедливий принцип суперпозиції, згідно з яким загальний ефект від дії на систему суми декількох факторів дорівнює сумі ефектів, що викликаються кожною окремою фактором. Щодо нашого об'єкту це означає, що можна розглянути зміна регульованої величини під впливом кожного з збурень окремо, а потім отримані результати алгебраїчно скласти. Тому будемо розглядати рівняння

, (3.12)

де для простоти індекс при коефіцієнті опущений.

Рішення цього рівняння шукається у вигляді

,

де - загальне рішення відповідного однорідного рівняння

,

- Приватне рішення рівняння (3.12).

Як приватного рішення зазвичай цікавляться новим сталим значенням регульованої величини, тобто тим, яке вона прийме після закінчення перехідного процесу, викликаного впливом в даному випадку x. Приймемо, що закон зміни x - стрибкоподібний:

t <0, x = 0, t ? 0, x = x 0 = Const.

У нашому випадку це відповідає миттєвому зміни відносного положення рейки подачі палива на величину x0. Таким чином, умови нового усталеного режиму виглядають так:

x = x0; (3.13)

Підставивши ці умови в рівняння (3.12), отримаємо

y = kx 0.

Загальне рішення однорідного рівняння шукається в формі

,

де C - постійна інтегрування, p - корінь характеристичного рівняння

Таким чином,

(3.14)

Постійна інтегрування визначається на підставі початкових умов. Зазвичай в якості таких задаються умовами вихідного усталеного режиму, коли ще не було зміни регульованої величини, і вони виглядають так:

t = 0, y = 0.

Підставивши початкові умови в рівняння (3.14), отримаємо

,

і остаточно

. (3.15)

Графік перехідного процесу.

На рис.3.2 представлений графік перехідного процесу. Тут ЛНУР - лінія нового усталеного режиму. Очевидно, що вона є асимптотой для кривої - графіка перехідного процесу. Ця крива (в математиці вона має спеціальну назву - експонента) має наступну властивість: відрізок, що відсікається на ЛНУР дотичній до експоненті в будь-якій точці і перпендикуляром з цієї точки, чисельно дорівнює постійної часу. Тоді можна дати тлумачення фізичним змістом постійної часу, якщо розглянути таке побудова з початку координат.

Постійна часу - це час, за яке регульована величина досягла б значення, відповідного новому сталому режиму, якби вона змінювалася з постійною швидкістю, рівній початковій швидкості її зміни.

tпп
T
T
 ЛНУР
t
 
 
y

Рис.3.2. Графік перехідного процесу в об'єкті регулювання

і постійна часу.

Тривалість перехідного процесу

в об'єкті регулювання.

Теоретично для будь-якого об'єкта вихід регульованої величини на нове стале значення триває нескінченно довго. На практиці ж можна зустріти об'єкти, в яких перехідний процес відбувається швидше або повільніше. В автоматиці широко застосовується інженерне поняття тривалості перехідного процесу. Це такий час tпп, За яке регульована величина стає досить близькою до свого сталого значення (рис.3.2):

 . (3.16)

Тут величина n близька до одиниці і характеризує точність наближення до сталого режиму.

Підставивши (3.16) в (3.15) і виконавши спрощення, одержимо

.

Після логарифмування виявляється зв'язок між часом перехідного процесу і постійної часу:

. (3.17)

Часто вважають перехідний процес практично закінченими, коли регульована величина досягає 95% від нового сталого значення, тобто приймають n = 0, 95. При цьому виявляється, що

tпп @ 3Т.

Наведемо практично зустрічаються значення постійних часу суднових об'єктів регулювання, які в першому наближенні можуть бути описані рівнянням типу (3.9).

Суднові головні дизелі - близько 1 секунди.

Газотурбонагнетателі - кілька секунд.

Дизельгенератори - 3 ... 4 секунди.

Суднові парові котли - 10 ... 15 хвилин.

Судно щодо зміни його швидкості - 1 ... 5 хвилин.

Різні теплообмінні апарати - хвилини.

Електродвигуни - близько 1 секунди.

Читайте також:

Випадок неправильного включення регулятора.

Передавальні функції дискретних систем.

Про стійкість нелінійних систем.

Стійкість автоматичних систем.

Взаємодія об'єкта і регулятора. закони регулювання

Повернутися в зміст: ТЕОРІЯ АВТОМАТИЧНОГО РЕГУЛЮВАННЯ

Всі підручники

© om.net.ua